京大物理'07年前期[3]
次の文を読んで、 には適した式を、{ }には正しい番号を一つ選び、それぞれの解答欄に記入せよ。また問1,問2,問3には適切な説明を所定の枠内に記入すること。
熱力学は気体だけではなく、さまざまな対象にも適用することができる。本問ではひも状の物体の熱力学を考えてみよう。あるひも状の物体を引き伸ばし、長さがからの範囲内で張力Xを測定したところ、Xは長さLに依存せず、絶対温度Tおよび正の定数Aを用いてと表された。この物体の変形としては、Lがからの範囲内にある一次元的な伸縮のみを考え、また内部エネルギーUは正の定数Cを用いてとなるとして、以下の問いに答えよ。
(1) この物体に外から微小仕事を加えて微小量だけ伸ばしたときに、という関係式が成り立つ。吸熱量を,内部エネルギーの変化をとしたとき、熱力学第一法則よりは、,A,T,を用いて あ と表される。一方より、物体を伸ばしたときの温度変化を用いて、内部エネルギーの変化は い とも書ける。 断熱的に物体をゆっくりと微小量伸ばしたときの温度変化は、C,A,T,を用いて表すと う となり、温度は{え:@ 下降する。 A 変わらない。 B 上昇する。}ただし、とする。
(2) さて、この物体を断熱的にゆっくりと伸ばした。そのときが一定であった。ここで、はTの自然対数である。
問1 この理由を述べよ。ただし、正の変数Tをまでわずかに変化させたときのの変化量をと表すと、が成り立つことを用いてよい。
(3) 次に、同じ物体を温度Tに保ったまま、長さからLまでゆっくりと変化させたときに物体に外から加えられた仕事は お であり、その間の吸熱量は か である。ただし、 お および か はA,T,,Lのみで表すこと。
(4) 図1のように横軸を物体の長さLとし、縦軸を温度Tとしてこの物体の状態変化を表す。物体を温度に保ちゆっくりと等温変化をさせ、その後ゆっくりとまで断熱変化させ、さらに温度でゆっくりと等温変化をさせた後に、断熱的にゆっくりと温度の初めの状態に戻すサイクルを考えよう。高温熱源(温度)から熱を吸収して仕事をし、低温熱源(温度)に熱を放出するようなサイクルは、{き:@ (a)を時計回りに回る。 A (a)を反時計回りに回る。 B (b)を時計回りに回る。 C (b)を反時計回りに回る。}
問2 このサイクルでは、とが等しくなる。その理由を述べよ。
(5) 一般にサイクルでの熱効率は、物体がサイクルを通じて外にする正味の仕事を、高温熱源から吸収する熱量で割った量として導入される。よって、サイクルを動かす間の熱効率は、とサイクルを動かす間に放出する熱量を用いて く と書ける。
問3 これまでの結果を用いて、(4)のサイクルの熱効率がとなる理由を説明せよ。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 難しそうに見えますが、簡単です。
(1) あ ・・・@ は、外部から物体に加えられた仕事なので、物体が外部にした仕事はです。熱力学第一法則より、 ∴ ・・・A ......[答] ......[答] う A,Bより、 ......[答] え Cより、のとき、 温度は上昇するので、B ......[答]
∴ これより、は一定です。
(3) お @より、物体に外から加えられた仕事は、 ......[答] ......[答]
(4) き 高温の等温変化において熱を吸収したので、,Dより、,よって、ここで長さが縮みます(右図で高温において右から左に移行する)。 高温から低温に断熱変化するとき、,Cより、,よって、ここで長さが縮みます(右図のでT,Lとも減少)。
このとき1サイクルで(a)を反時計回りに回る(右図参照)ので、A ......[答] 補足 このサイクルをカルノー・サイクルと言います。
問2 断熱変化においては、Aでとして、 ・・・E
右図において、B→A(断熱変化)における内部エネルギーの変化は、Eより、 D→C(断熱変化) における内部エネルギーの変化は、Eより、 等温変化ではなので、A→D,C→Bにおいては、内部エネルギーの変化はありません。1サイクルでの内部エネルギーの変化は(1サイクルでもとの温度に戻るので)0です。
よって、
∴
(5) く 1サイクルで、内部エネルギーの変化は0,気体が吸収した熱は 物体が1サイクルを通じて外にする正味の仕事をとして、熱力学第一法則より、 ・・・F ......[答] 注.ηはギリシャ文字で‘えーた'と読みます。
問3 C→B(等温変化)において、Dより、 (は吸収する熱量) A→D(等温変化)において、Dより、 (は放出する熱量)問2の結果を利用して、 Fより、熱効率ηは、 注.問2(5),問3において、,,C→Bで物体が吸収した熱は,A→Dで物体が吸収した熱はであることに注意してください。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
京大物理TOP 物理TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2023(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中!理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。