早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2023年数学入試問題


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

[1] nを自然数として、整式で割った余りをとおく。以下の問に答えよ。

(1) を、それぞれを用いて表せ。
(2) 全てのnに対して、7で割り切れないことを示せ。
(3) で表し、全てのnに対して、2つの整数は互いに素であることを示せ。
[解答へ]


[2] 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し、取り出した玉を袋に戻した上で、取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す。以下の問に答えよ。

(1) 初めに袋の中に赤玉が1個、黒玉が1個入っているとする。n回の操作を行ったとき、赤玉をちょうどk回取り出す確率を ()とする。を求め、さらにを求めよ。
(2) 初めに袋の中に赤玉がr個、黒玉がb()入っているとする。n回の操作を行ったとき、k回目に赤玉が、それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率を ()とする。kによらないことを示せ。
[解答へ]


[3] 実数xに対して関数で定め、正の実数xに対して関数で定める。また、のグラフをそれぞれとする。以下の問に答えよ。

(1) がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2) 直線2点で交わることを示せ。ただし、必要ならを証明しないで用いてよい。
(3) 直線との2つの交点のx座標をαβとする。ただし、とする。直線をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4) で囲まれる図形の面積を(3)αβの多項式で表せ。
[解答へ]


[4] 複素数平面上に2A(1)B()がある。ただし、iは虚数単位である。複素数zに対し、で表される点wを考える。以下の問に答えよ。

(1) のときのwをそれぞれ計算せよ。
(2) 実数t に対しとする。について、の実部を求め、さらにを求めよ。
(3) wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。
[解答へ]


[5] xyz空間において、3ABCを頂点とする三角形ABCを考える。以下の問に答えよ。

(1) を求めよ。
(2) に対し、線分ABACと平面との交点をそれぞれPQとする。点PQの座標を求めよ。
(3) に対し、点と線分PQの距離をhで表せ。ただし、点と線分の距離とは、点と線分上の点の距離の最小値である。
(4) 三角形ABCx軸のまわりに1回転させ、そのときに三角形が通過する点全体からなる立体の体積を求めよ。
[解答へ]



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  早大理工数学TOP  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。