東大理系数学'23年前期[5]

整式を考える。

(1) を実数を係数とする整式とし、で割った余りをとおく。で割った余りとで割った余りが等しいことを示せ。
(2) abを実数とし、とおく。で割った余りをとおき、で割った余りをとおく。に等しくなるようなabの組をすべて求めよ。


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解答 問題文を読んでびっくりさせられますが、これは東大数学の1つの特徴で、困難な状況におかれても冷静に論理的に問題解決に当たれるか、という資質を見ようとしているのです。怖じ気づくようでは東大合格は望めません。

(1) より、 ・・・@ (因数定理を参照)
より、 ・・・A
で割った商を,余りをとおくと、
 ・・・B (多項式の除算を参照)
3次式なので、2次式です。Bを微分すると、
 ・・・C (積の微分法を参照)
Bでとして、@より、
 ・・・D
Bでとして、@より、
 ・・・E
Cでとして、@,Aより、
 ・・・F
で割った商を,余りをとおくと、
 ・・・G
と同様2次式で、Bより、

 ・・・H
で割った商を,余りをとおくと、
これとG,Hより、

中括弧内をとおくと、
 ・・・I
両辺を微分すると、
 ・・・J
2次式で、ABCabcを実数とし、とおくと、
Iでとすると、@よりなので、
 ∴  ・・・K
Iでとすると、@よりなので、
 ∴  ・・・L
Jでとすると、Aより,また@を用いて、
 ∴  ・・・M
MをLに代入して、,これとKより、,さらにMより、,よって、 ∴
よって、で割った余りとで割った余りが等しいことが示されました。
注.上記では、余りの2次式をと具体的において考えましたが、具体的におかなくても、
の差をとり、
 (Σの公式を参照)
 ( B)
これはで割り切れるので、
で割り切れて、,即ち、
とすることもできます。

(2) より、 (kmdは実数) ・・・N とおきます。
3次式で割った商を,余りの2次式を (ABCは実数)すると、
 ・・・O
両辺を微分すると、
 ・・・P (合成関数の微分法を参照)
Oでとすると、Nより,また@よりで、
 ・・・Q
 ・・・R
Pでとすると、Nより,またAよりで、
 ・・・S
で割った商を,余りをとすると、より、
 ・・・(21)
(21)とすると、
 ・・・(22)
(21)とすると、
 ・・・(23)
(21)両辺を微分すると、
とすると、,Nより、
 ・・・(24)
Qを(22)に代入すると、
 ∴
kは実数なので、
のとき、N,Qよりで、(22)は満たされ、さらに(24)より、
よって、,Nより、
Rより、
(23)は満たされ、Sより、で、(24)の左辺は0(24)の右辺は0で、(24)も満たされます。よって、は適。 ・・・(25)
のとき、N,Q,Sよりで、さらに(24)より、 ∴
よって、
Rより、ですが、
(23)の左辺は,右辺は2となり、(23)が成立せず、不適です。
のとき、N,Q,Sよりで、さらに(24)より、 ∴
よって、
Rより、で、
(23)が成立します。
(22)は、左辺も右辺もで成立します。なので(24)も成立します。よって、は適。 ・・・(26)
(25)(26)より、 ......[]

注.上記は、整式3次式で割ると、余りは2次式であって、より、になる、ということを用いて解答していますが、十分性が心配な方のために確かめをしておきます。
のとき、です。
で割った余りをとおくと、
で、
で、
で、
これより、,つまり、で割った余りはです。従って、余りの
7で割った余りはです。
のとき、です。
で割った余りをとおくと、
で、
で、
で、
これより、,つまり、で割った余りはです。従って、余りの
7で割った余りはです。
いずれの場合も、そもそもなのでになっているわけです。



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