東京大学理系2022年前期数学入試問題

[1]
 次の関数を考える。
()
(1) は区間において最小値を持つことを示せ。
(2) の区間における最小値を求めよ。
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[2] 数列を次のように定める。
()
(1) 正の整数n3の倍数のとき、5の倍数となることを示せ。
(2) knを正の整数とする。の倍数となるための必要十分条件をknを用いて表せ。
(3) の最大公約数を求めよ。
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[3] Oを原点とする座標平面上で考える。座標平面上の2STに対し、点Sが点Tから十分離れているとは、
 または 
が成り立つことと定義する。
不等式

が表す正方形の領域をDとし、その2つの頂点ABを考える。さらに、次の条件(i)(ii)をともに満たす点Pをとる。
(i) Pは領域Dの点であり、かつ、放物線上にある。
(ii) Pは、3OABのいずれからも十分離れている。
Px座標をaとする。
(1) aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) 次の条件(iii)(iv)をともに満たす点Qが存在しうる範囲の面積を求めよ。
(iii) Qは領域Dの点である。
(iv) Qは、4OABPのいずれからも十分離れている。
(3) a(1)で求めた範囲を動くとする。(2)を最小にするaの値を求めよ。
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[4] 座標平面上の曲線
C
(1) 座標平面上のすべての点Pが次の条件(i)を満たすことを示せ。
(i) Pを通る直線で、曲線Cと相異なる3点で交わるものが存在する。
(2) 次の条件(ii)を満たす点Pのとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(ii) Pを通る直線で、曲線Cと相異なる3点で交わり、かつ、直線と曲線Cで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。
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[5] 座標空間内の点Aと点Bを結ぶ線分をz軸のまわりに1回転させて得られる曲面をSとする。S上の点Pxy平面上の点Qを満たしながら動くとき、線分PQの中点が通過しうる範囲をKとする。Kの体積を求めよ。
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[6] Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、ベクトル
と定める。投げたとき表と裏がどちらもの確率で出るコインをN回投げて、座標平面上に点,・・・,を以下の規則(i)(ii)に従って定める。
(i) Oにある。
(ii) n1以上N以下の整数とする。が定まったとし、を次のように定める。
n回目のコイン投げで表が出た場合、
によりを定める。ただし、k1回目からn回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
n回目のコイン投げで裏が出た場合、と定める。
(1) とする。Oにある確率を求めよ。
(2) とする。Oにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表がちょうどr回出る確率をとおく。ただしである。を求めよ。またが最大となるrの値を求めよ。
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