東大文系数学'07前期[2]

rをみたす実数、n2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件@,Aをみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。
@ 新しい2つの円の半径の比はrで、半径の和はもとの円の半径に等しい。
A 新しい2つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に個の円を作る。
・最初に、平面上に半径1の円を描く。
・次に、この円に対して操作(P)を行い、2つの円を得る(これを1回目の操作という)
k回目の操作で得られた個の円のそれぞれについて、操作(P)を行い、個の円を得る()
(1) n回目の操作で得られる個の円の周の長さの和を求めよ。
(2) 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
(3) n回目の操作で得られる個の円の面積の和を求めよ。

解答 条件Aの意味が不明です。重ならない、という程度のことなのでしょうか?

半径
Rの円に操作(P)を施すと、半径の円と半径の円ができます。
半径
Rの円の円周の長さは,面積はです。
半径の円の円周の長さは,面積はです。
半径の円の円周の長さは,面積はです。


(1) 操作(P)の実行により、半径Rの円について、円周の長さの和は、となり、変化しません。
操作(P)実行前のすべての円について、円周の長さの和は変化せず、1回目の操作前の半径1の円周の長さはなので、n回目の操作で得られる個の円の周の長さの和も ......[]

(2) 操作(P)の実行により、半径Rの円について、円周の面積の和は、となり、倍になります。
1回目の操作前の半径1の円の面積はです。
2回目の操作で得られる4つの円の面積の和は、 ......[]

(3) (2)より、n回目の操作で得られる個の円の面積の和は、 ......[]

注.要するに、n回操作後の円周の長さの和は、定数値となる数列、n回操作後の面積の和は、初項,公比等比数列、ということです。


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