東大理系数学'07年前期[5]

表が出る確率がp,裏が出る確率がであるような硬貨がある。ただし、とする。この硬貨を投げて、次のルール()の下で、ブロック積みゲームを行う。
  
() 
nを正の整数、mをみたす整数とする。
(1) n回硬貨を投げたとき、最後にブロックの高さがmとなる確率を求めよ。
(2) (1)で、最後にブロックの高さがm以下となる確率を求めよ。
(3) ルール()の下で、n回の硬貨投げを独立に2度行い、それぞれ最後のブロックの高さを考える。2度のうち、高い方のブロックの高さがmである確率を求めよ。ただし、最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。

解答 東大の確率の問題は易しそうに見えるときの方が正解しにくいのです。場合分けの重複の見落としなどで、すぐに大きな差がついてしまうので、充分に注意してください。この問題も注意力をみるようなタイプの問題です。

以下において、
n回すべて表が出る場合と、1回でも裏が出てブロックを積み直すときとで、分けて考える必要があります。
(1) 一度でも裏が出ると、ブロックの高さはゼロ・クリアされてしまうので、ブロックの高さがmということは、一旦裏が出て、その後、直近m回の硬貨投げでm回連続して表が出ていたということです。
のときは、n回の硬貨投げすべて表ということなので、 ......[]
のときは、回目(それ以前は任意)に裏が出て、その後m回連続して表が出ていたので、 ......[]

(2) のときは、ブロックの高さは最大でnとなり、必ずn以下になるので、 ......[]
のときは、最後にブロックの高さがm以下になる事象の余事象は、ブロックの高さが以上である事象で、直近(それ以前は任意)連続して表が出ていた場合に起こり、この確率はです。余事象の確率なので、 ......[]

の場合については、最後にブロックの高さがk ()となる確率は(1)より、なので、について和をとり、
 (等比数列を参照)
とすることもできます。

(3) 独立な2度の試行では、確率は単にかければよい(独立試行の確率を参照)のですが、2度のうち高い方のブロックの高さがmになるのは、1度目がm2度目がm以下、または、1度目がm以下で2度目がmのどちらかです。この2通りには、1度目も2度目もmという場合が重複しています。

のとき、1度目がn2度目がn以下となる確率は、
1度目がn以下で2度目がnとなる確率も、
1度目も2度目もnとなる確率は、
......[]
のとき、1度目がm2度目がm以下となる確率は、
1度目がm以下で2度目がmとなる確率も、
1度目も2度目もmとなる確率は、

......[]


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