東大理系数学'04年前期[5]

rを正の実数とする。xyz空間内の原点Oを中心とする半径1の球をA,点Pを中心とする半径1の球をBとする。球Aと球Bの和集合の体積をVとする。ただし、球Aと球Bの和集合とは、球Aまたは球Bの少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである。
(1) Vrの関数として表し、そのグラフの概形を描け。
(2) となるとき、rの値はいくらか。四捨五入して小数第一位まで求めよ。
注意:円周率p は、をみたす。

解答 回転体の体積を求める問題としては容易です。(2)の近似値も単に代入していくだけなので、平凡です。なお、中間値の定理を参照してください。

(1) のとき、球Aと球Bは離れていて共通部分をもちません。球Aと球Bの和集合の体積Vは、半径1の球の体積の2倍です。
よって、

のとき、球Aと球Bの共通部分は、右図の斜線部分をx軸のまわりに回転したものになります。これはさらに、円: (yについて解くと、)の部分をx軸のまわりに回転したもの2個分になります。従って、共通部分の体積は、
和集合の体積は、半径1の球の体積の2倍から共通部分の体積を引いたものになります。

以上まとめて、 ......[]
より、においてよりVは増加(3次関数の増減を参照)
グラフは右図。

(2) (です)のとき、
()
左辺をとおくと、
においては、は減少。
より、となるrの範囲にただ1つあります。これをとします。


と調べて行くと、であり、を四捨五入して小数第一位まで求めると、 ......[]

大学専門課程に進むとよく出てくる泥臭い数値感覚を見ています。論理的に見ないで、大体の見当をつけます。答案では、だけ調べてあれば十分です。


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