東大理系数学'04年前期[4]

関数 ()を次のように定める。


以下同様に、に対して関数が定まったならば、関数
で定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) aを実数とする。を満たす実数xの個数を求めよ。
(2) aを実数とする。を満たす実数xの個数を求めよ。
(3) n3以上の自然数とする。を満たす実数xの個数はであることを示せ。

解答(3)は、数学的帰納法ということははっきりしていますが、少々、工夫が必要です。

(1)
より、の増減表は以下の通り(3次関数の増減を参照)
また、のグラフは右図の通り。

x


1
2
00
22

グラフより、を満たす実数xの個数は、
のとき、1
のとき、2
のとき、3 ......[]
のとき、3解はいずれも、グラフより、の範囲に存在します。
(2) とおく。を満たすzの個数は(1)で調べています。


のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、の範囲に1個だけあります。
(1)より、このzに対してを満たす実数xの個数は1 ......[]

のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、の範囲に1個だけあります。
(1)より、このzに対してを満たす実数xの個数は1 ......[]

のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、
(1)より、のときを満たす実数x3個、のとき、を満たす実数x22個。
合わせて、を満たす実数
xの個数は5 ......[]

のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、
(1)より、のとき、を満たす実数x12個、のとき、を満たす実数x3個。
合わせて、を満たす実数
x5 ......[]

のとき、(1)のグラフより、を満たすzは、の範囲に3個あり、各々の値を、とします。
より、 ()を満たす実数xの各々について3個ずつ計9個とれます。
を満たす実数
x9 ......[]

(3) 「自然数」に関する証明問題なので、数学的帰納法で証明するのがラクそうです。
問題文ではとなっているのですが、のとき、というわけではありません。であっても、となる可能性があります。
従って、問題文のままでは数学的帰納法に乗せにくいのです。


(2)のときにx9 ()個とれたということは、に限らずに、 ()としてもやはりx個とれるだろう、と思われます。というわけで、数学的帰納法で、
 「
aを満たす実数だとして、を満たす実数xの個数は個ある」 ・・・()
という命題を証明することにします。この証明ができてからとすればよいでしょう。
また、問題文では、について示せとなっているのですが、として示しておけば、でも成り立つので、ここでは、として数学的帰納法の証明をすることにします。


のとき、(1)より、aを満たす実数だとして、を満たす実数xは、の範囲に個あるから、命題()は成り立ちます。
のとき命題()が成り立つと仮定します。つまり、aを満たす実数だとして、を満たす実数xの個数が個あるとします。
今度は、のとき、aを満たす実数だとして、を満たす実数xの個数を考えます。
とおくと、より、を満たす実数
zは、(1)より、の範囲に3個あり、各々の値を、とします。
()()を満たす実数xの各々について個ずつ、計個あります。
よって、
aを満たす実数だとして、を満たす実数xの個数は個あり、のときも命題は成立します。
以上より、数学的帰納法により命題()を証明することができます。

この命題でとして、を満たす実数
xの個数は、 ......[]


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