東大理系数学'04年前期[3]

半径10の円Cがある。半径3の円板Dを、円Cに内接させながら、円Cの円周に沿って滑ることなく転がす。円板Dの周上の一点をPとする。点Pが、円Cの円周に接してから再び円Cの円周に接するまでに描く曲線は、円C2つの部分に分ける。それぞれの面積を求めよ。

解答 Pは最初、円C上の定点Aにいたとして、反時計回りに円Cの内側を転がっていくとします。
Dの中心をQ,円Cと円Dの接点をBとします。
すべることなく転がるので、円弧
ABの長さと円弧PBの長さは等しく、 (一般角を参照)

x軸正方向となす角は、反時計回りを正として、
QOを中心とする半径7の円周上を動きます。Qの座標は,即ち、 (三角関数を参照)

Pの座標をとして、
・・・@
PAを出発して再び円Cの円周に接する時点で、円弧ABは円周Cの周の長さに一致します。

このときの、Bの座標は
PAを出発して再び円Cの円周に接するまでに、q は、0からまで動きます。

右図斜線部の面積を
Sとすると、
@を用いて、置換積分をします。xのとき、q





ここで、です。よって、

小さい方の部分の面積は、扇形OAEと三角形OEFの面積の和からSを引けばよいので、
......[]
(です)

大きい方の部分の面積は、円の面積から小さい方の面積を引いて、
......[]

フーッ!大変ですね。これくらいの忍耐力がなくてどうする、と、東大の先生はおっしゃりたいのでしょうけれど、実戦的には、体力に自信のある肉体派以外の人は、式だけ書いてパスですね。こういうのにこだわると大ケガのもとです。


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