東大理系数学'02年前期[4]

aは正の実数とする。xy平面のy軸上に点Pをとる。関数
のグラフをCとする。C上の点Qで次の条件を満たすものが原点O以外に存在するようなaの範囲を求めよ。
条件:QにおけるCの接線が直線PQと直交する。

解答 条件には、直線PQC接線と直交する、と書いてありますが、QにおけるCの接線と垂直であってQを通る直線は、この点QにおけるC法線です。
従って、直線
PQCの法線となりうるのかを考えればよいわけです。
まず、
Qx座標をtとして、Qにおける法線を求めてみます。Qy座標はです。
の両辺を微分すると、

 (商の微分法を参照)
原点以外でQを考えるので、として考えます。
Qにおける法線の傾きは、 (接線と法線の公式を参照)
よって、Qにおける法線:
整理すると、

法線のy切片は、
・・・@ (直線の方程式を参照)
です。

さて、「
QにおけるCの接線が直線PQと直交する。」ような点Qが原点以外に存在する、ということは、どういうことかと言うと、y軸上の点Pを通るようなCの法線がC上のどこかの点(どこになるかはわかりませんけれど、原点以外の点です)を接点として引ける、ということです。
aは、Py座標なので、法線のy切片になります。
C上の点Qが存在するためのaの範囲とは何かと言うと、C上のあらゆる点で法線を引いてみたとして、法線とy軸との交点Py軸上を動き回りますが、その交点Py座標、つまり法線のy切片がとりうる範囲という意味です。
ここの部分のロジックがややこしいですが、この問題は、ここ以外は単純な微分積分の計算問題なので、グラフを描いて法線をいろいろと書き込んで考えてみてください。

結局、何をすればよいのかと言うと、@をとして考えた関数の取り得る値の範囲を求めればよい、ということです。
さて、この関数をこのまま微分して値域を求めても良いのですが、通分して展開整理すると、ちょっと時間がかかりそうです。そこで、計算の工夫を考えます。
この式では、
2回出てきます。という部分もありますが、これはから1を引くだけのことです。
それと、と置いたのでは、分母がとなって、商の微分法を使うところがやや面倒になります。
従って、ここは、と置き、
uの関数として値域を考えるのが最善です。
のとき、です。


とおいて、微分すると、
よって、は、において単調増加関数です。
のとき、
のとき、
これより、の値域は、です。
即ち、
......[]


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