東京工業大学2013年前期数学入試問題

[1](1) 2次方程式2つの解αβ に対し、はすべての正の整数nについて5の整数倍になることを示せ。
(2) 6個のさいころを同時に投げるとき、ちょうど4種類の目が出る確率を規約分数で表せ。
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[2] 2次の正方行列に対して、と定める。
(1) 2次の正方行列ABに対して、が成り立つことを示せ。
(2) Aの成分がすべて実数で、が成り立つとき、の値を求めよ。ただし、E2次の単位行列とする。
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[3] kを定数とするとき、方程式の異なる正の解の個数を求めよ。
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[4] 正の整数nに対し、の範囲においてを満たすxの区間の長さの総和をとする。このとき、を求めよ。
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[5] abを正の実数とし、円と楕円を考える。
(1) に内接するためのabの条件を求めよ。
(2) とし、に内接しているとする。このとき、第1象限におけるの接点の座標を求めよ。
(3) (2)の条件のもとで、の範囲において、で囲まれた部分の面積を求めよ。
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