東工大数学'02年前期[1]

実数aに対し、積分
を考える。の最小値を求めよ。

解答 絶対値記号を含む関数の積分では、絶対値記号の内側が0以上か、0以下かで、積分区間を分けて計算する必要があります。なお、三角関数を参照してください。

絶対値記号の内側について、としてみると、においては、なので、でくくって、


において、は単調増加で、です。
従って、
aを満たす実数の場合には、の範囲内にとなるxが存在します(中間値の定理を参照)
この
xq とします。となります。

(i) のとき
においては、
つまり、
においては、
つまり、

これより、積分区間を、とで分けて、
 
(不定積分の公式を参照)


より、
()
より、 ()
 (微分の公式を参照)
とすると、
分母を払い、
2乗すると、
()
増減表は(関数の増減を参照)
a0

1

0


(ii) のときには、においてはより、

よって、


これはaに関して単調増加なので、

(iii) のときには、においてはより、

よって、


これはaに関して単調減少なので、

(i), (ii), (iii)より、
の最小値は、
......[]


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