京大理系数学
'10
年
乙
[5]
次の問いに答えよ。
(1)
n
を正の整数、
とする。
は
で割り切れるが
では割り切れないことを示せ。
(2)
m
を正の偶数とする。
が
で割り切れるならば
または
であることを示せ。
解答
(1)
は、
のとき
で
は
の倍数、
のときは
で
は
の倍数
(
は
2
の倍数
)
、
のときは
で
は
の倍数
(
は
2
の倍数
)
、という具合になっています。
の場合から
の場合に行くときに、因数分解すれば
2
の倍数が出てくる、というわけで、数学的帰納法の枠組に乗せることができます。なお、
整数
を参照してください。
(1)
数学的帰納法
により示します。
(
T
)
のとき、
,
は
で割り切れますが
では割り切れないので、題意は成立します。
(
U
)
のとき、題意が成立し、
として、
は
で割り切れるが
では割り切れないと仮定します。
すると、
p
を奇数として、
・・・@
とおくことができます。
さて、
とすると、
(
∵
@
)
p
,
は奇数なので、
は
で割り切れますが
では割り切れません。
よって、
のときも題意は成立します。
(
T
)
,
(
U
)
より、
n
を正の整数、
として、
は
で割り切れるが
では割り切れないことが示されました。
(2)
q
を正の奇数,
n
を正の整数として、正の偶数
m
を
とします。
(1)
より、
とすると、
は
で割り切れるが
では割り切れないので、
p
を奇数として、
とおくことができます。
より、
中カッコ内は、
,
,・・・,
,
1
はいずれも奇数で、奇数個
(
q
個
)
の奇数の和なので奇数です。
p
と中カッコ内が奇数なので、
は
で割り切れますが
では割り切れません。題意より、
が
で割り切れるので、
2
の指数
,
m
に関して、
・・・A
が成立します。
においては、
(
二項定理
を参照
)
であって、
q
は正の奇数なので、
ではAを満たす正の整数
n
は存在しません。また、
のときには、すべての正整数
n
について
となり、Aを満たす正の整数
n
は存在しません。
よって、Aを満たす
n
は、
のときの
のみで、このとき
m
は、
または
に限られます。
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