京大理系数学'09[3]

n枚のカードを積んだ山があり、各カードには上から順番に1からnまでの番号がつけられている。ただしとする。このカードの山に対して次の試行を繰り返す。1回の試行では、一番上のカードを取り、山の一番上にもどすか、あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う。これらn通りの操作はすべて同じ確率であるとする。n回の試行を終えたとき、最初一番下にあったカード(番号n)が山の一番上にきている確率を求めよ。

解答 試行をn回行うので、すべての試行で番号nのカードが1つ上に上がるのではなく、n回のうち1回だけ上に上がらない試行があること、また、番号nのカードが一番上にあるときとそうでないときとで違いがある(解答では、場合分けして考えます)ことに注意しましょう。以下の解答では、参考までに[...]内にピンク色の文字の場合を示します。
なお、
確率積事象を参照してください。

・番号nのカードが上からk枚目の位置()にあるとき、一番上にあるカードを取ると、番号nの下側では入れる位置が通り、番号nのカードの上側では入れる位置が通りあります。このとき、以下の(i)(ii)のいずれかの事象が起こります。
(i) 一番上にあったカードが番号nのカードよりも下側に入る事象
この確率は、n通りの位置のうちから通りの位置のどれか1つの位置を選ぶので、です。このときに、番号nのカードの位置が1つ上になり、上から枚目の位置にきます。
[番号6のカードが上から3番目にあるとき、一番上にあったカードが番号6よりも下側に入る確率は]
(ii) 一番上にあったカードが番号nのカードよりも上側に入る事象。
この確率はです。このときは、番号nのカードの位置は変わりません。
[番号6のカードが上から3番目にあるとき、一番上にあったカードが番号6よりも上側に入る確率は]

1回目の試行の前に、番号nのカードは上からn番目の位置にいます。
[1回目の試行の前に、番号6のカードは上から6番目にいます]
1回目に事象(i)が起きたとき、第2回目の試行の前に、番号nのカードは上から番目の位置にいます。
[1回目に事象(i)が起きたとき、第2回目の試行の前に、番号6のカードは上から5番目にいます]
2回目まで連続して事象(i)が起きたとき、第3回目の試行の前に、番号nのカードは上から番目の位置にいます。
[2回目まで連続して事象(i)が起きたとき、第3回目の試行の前に、番号6のカードは上から番目の位置にいます]
回目まで連続して事象(i)が起きたときには、第回目の試行の前に、番号nのカードは上からk番目の位置にいます。
[回目まで連続して事象(i)が起きたときには、第回目の試行の前に、番号6のカードは上から3番目の位置にいます]
上記の事象(ii)が起きるのは事象(i)回連続した後の第回目です。第回目以降は事象(i)が続いて、起こります。
[上記の事象(ii)が起きるのは事象(i)回連続した後の第回目です。第回目以降は事象(i)が続いて、起こります]

以下では、第1回目の試行から第回目の試行の間に事象(ii)が起きてしまうときに、n回の試行を終えたとき、番号nのカードが一番上に来る確率を考えます。

1回目に事象(ii)が起こり、以後回の試行で連続して事象(i)が起きる確率は、

[]
1回目に事象(i)が起こり、第2回目に事象(ii)が起こり、以後回の試行で連続して事象(i)が起こる確率は、

[]
2回目まで連続して事象(i)が起こり、第3回目に事象(ii)が起こり、以後回の試行で連続して事象(i)が起こる確率は、

[]
回目まで連続して事象(i)が起こり、第回目に事象(ii)が起こり、以後回の試行で連続して事象(i)が起こる確率は、
 ()
[]

・番号nのカードが上から1枚目の位置()にあるとき、つまり、第回目まで連続して事象(i)が起こり、第n回目の前に番号nのカードが一番上に来ているとき、最終的に番号nのカードが一番上にあるようにするためには、上記とは異なり、第n回目の試行では一番上のカード(番号n)を取って、再び一番上に置く(確率)ことになります。この確率は、

[]

以上より、求める確率は、だけが、,・・・,と異なる形をしていることに注意して、
 (k2からnまで動くときに1からまで動く)
......[
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