京大理系数学'09[1]

xyz空間でOABCDEFGを頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。辺AEsに内分する点をP,辺CGtに内分する点をQとおく。ただしとする。Dを通り、OPQを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端を含む)と交わるようなstのみたす条件を求めよ。

解答 2つのベクトル方程式が指定範囲に解をもつ条件を考えます。
なお、途中で
2つのベクトルの双方に垂直なベクトルを求める必要がありますが、これについては外積も参照してください。

より、
より、
双方に垂直なベクトルをとすると、

 (内積を参照)



よって、Dを通り、OPQを含む平面に垂直な直線のベクトル方程式:
 ・・・@
より、直線ACのベクトル方程式:
 ・・・A
線分AC上の点では
@とAが交点をもつとして、それぞれの
x成分,y成分,z成分を等しいとおくと、
 ・・・B
 ・・・C
 ・・・D
Dより、
Cより、
Bより、
 ・・・E
より、 ・・・F
Eより、ですが、より、
 ・・・G
FかつGより、 ・・・H
EかつHが満たされれば、B,C,Dがを満たす解をもち、直線@と線分Aが交点をもちます。
求める条件は、
......[]


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