慶應大学理工学部2022年数学入試問題

[1](1) とする。空間のベクトルはともに大きさが1であり、とする。

(i) pqrを実数とし、とするとき、内積の大きさpqrを用いて表すと、である。

(ii) を満たす実数sθが存在するような実数z2個あるが、それらをすべて求めるとである。

(2) n を奇数とする。nの積が6の倍数であるための必要十分条件は、nで割ったときの余りがとなることである。ただし、実数xに対しxを超えない最大の整数をと表す。また、を満たす整数である。を求める過程を解答欄(2)に記述しなさい。
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[2] rを正の実数とし、円,楕円を考える。
(1) と楕円の共有点が存在するようなrの値の範囲はである。

(2) のとき、の共有点の座標をすべて求めるとである。これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標をとする。連立不等式
の表す領域の面積はである。

(3) 連立不等式
のあらわす領域をDとする。Dy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積はである。
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[3] 最初に袋の中に白玉が1個入っている。次の規則に従って、1回の操作につき白玉または赤玉を1個ずつ加えていく。

1回目の操作では、コインを投げ、表が出たときには赤玉を袋の中に1個加え、裏が出たときには白玉を袋の中に1個加える。
2回目以降の操作では、コインを投げ、表が出たときには赤玉を袋の中に1個加え、裏が出たときには袋から玉を1個無作為に取り出し、その色を見てから袋に戻し、さらに同じ色の玉を袋の中に1個加える。

(1) 2回目の操作を終えたとき、袋の中に白玉がちょうど2個入っている確率はである。

(2) 3回目の操作を終えたとき、コインの表が2回、裏が1回出ていたという条件の下で、袋の中に白玉がちょうど2個入っている条件つき確率はである。

以下、k2以上の整数とし、k回目の操作を終えたときを考える。。

(3) 袋の中に白玉のみが入っている確率はである。

(4) 1回目の操作で赤玉を加えたという条件の下で、袋の中に白玉がちょうどk個入っている条件つき確率はである。

(5) 袋の中に白玉がちょうどk個入っている確率はである。
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[4] 曲線Cを考える。
(1) abを実数とし、とする。曲線Cと直線が共有点をもつためのabの条件を求め、求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい。

(2) 正の実数t に対し、C上の点Aを中心とし、直線に接する円Dを考える。直線と円Dの接点Bx座標はであり、円Dの半径はである。線分AB32に内分する点をPとし、Px座標、y座標をそれぞれとする。このとき、等式
が成り立つような実数kを求めるとである。ただし、である。
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[5] 半径S上に3ABCがあり、線分ABBCCAの長さはそれぞれとする。

(1) である。平面ABCで球面Sを切った切り口の円をTとする。Tの半径はである。点Dが円T上を動くとき、△DABの面積の最大値はである。

(2) 球面Sの中心Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さはである。

(3) Eが球面S上を動くとき、三角錐EABCの体積の最大値はである。
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