慶大理工数学
'11
年
[B1]
座標空間で次の
8
つの点
A
,
B
,
C
,
D
E
,
F
,
G
,
H
を頂点とする
1
辺の長さ
2
の立方体
ABCD-EFGH
を考える。いま、点
P
を正方形
EFGH
内の点
(
辺上も含む、ただし
)
とし、点
A
と点
G
を通る直線を
とする。
(1)
点
Q
を直線
上の点で
(
t
は実数
)
を満たすものとする。
と
が直交するとき
t
を
x
と
y
で表すと
となる。
(2)
点
P
から直線
に下ろした垂線の足は点
A
と点
G
の間にあることを証明せよ。
(3)
点
P
が原点
O
を中心とする
xy
平面上の半径
1
の円周上を動くとし、
P
の座標を
(
)
と書くことにする。このとき、三角形
APG
の面積の最大値と最小値、およびそれらを与える
θ
の値を求めよ。求める過程も書け。
解答
(3)
では、図形的に見ていくことも可能ですが、素直に計算でやってみます。腕尽く計算だとかなり面倒になります。なお、
空間ベクトル
を参照してください。
(1)
直交するので、当然、
内積
を考えます。
(
直線のベクトル方程式
を参照
)
より、
∴
(
マ
)
......[
答
]
(2) P
は正方形
EFGH
内の点であることから、
,
ただし、
より、
よって、
,
∴
より、点
P
から直線
に下ろした垂線の足は点
A
と点
G
の間にあります。
(
証明終
)
(3) P
から
AG
に垂線
PQ
を下ろすと、
(1)
で、
,
,
とすることにより、
とおくと、
より、
,
(
2
倍角の公式
を参照
)
これより、
(
2
次関数の最大最小
を参照
)
三角形
APG
の面積は、
AG
を底辺と見ると、高さ
PQ
が最大のとき最大、高さ
PQ
が最小のとき最小で、
より、
,つまり、
のとき、
は最大値
をとり、このとき、三角形
APG
の面積は最大値
をとります。
,つまり、
のとき、
は最小値
をとり、このとき、三角形
APG
の面積は最小値
をとる。
最大値:
(
のとき
)
,最小値:
(
のとき
) ......[
答
]
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