慶大理工数学
'09
年
[A3]
とする。
xy
平面上において点
を中心とする半径
r
の円
を考える。この円が曲線
C
:
(
)
に接するのは、半径
r
がどのような値のときであるかを調べてみよう。この半径
r
の円が曲線
C
と接するとき、その接点の
x
座標は、曲線
と直線
が接する場合の接点の
x
座標と一致する。
ソ
のとき、
は
において
タ
でのみ極小となる。よって、
x
座標が
なる点において半径
チ
の円だけが曲線
C
に接する。
ソ
のとき、
は
において
で極大となり、
ツ
,
テ
(
)
において極小となる。したがって、
x
座標が
なる点で曲線
C
に接する円のほかに、半径
ト
の円が
x
座標が
,
なる
2
点において曲線
C
に接する。
解答
円と直角双曲線が複雑にからまりながら微妙な接し方をする、という問題です。誘導の仕方がちょっと変わっているので、まごつくかも知れませんが、出題者の意図をよく考えるようにしましょう。
なお、
微分法の方程式への応用
2
を参照してください。
(
ソ
)
(
合成関数の微分法
を参照
)
方程式:
は、判別式:
のとき実数解を持たないか重解をもち、このとき、
(
2
次方程式の一般論
を参照
)
です。
の場合には,
は正負いずれの値も取り得ます。
そこで、
においては、
,
で場合分けします。
2 ......[
答
]
・
のとき、
より、増減表は
(
関数の増減
を参照
)
、
x
0
1
−
0
+
(
タ
)
は
において
......[
答
]
でのみ極小となります。
(
チ
)
より、半径
......[
答
]
の円だけが曲線
C
に接します。
・
のとき、
は
2
実数解
をもち、
より、
,
ここで、
(
複号同順
)
より、
(
ここまで複号同順
)
増減表は、
x
0
1
−
0
+
0
−
0
+
(
ツ
)
は
において
で極大となり、
......[
答
]
,
(
テ
)
......[
答
]
において極小となります。
(
ト
)
したがって、
x
座標が
(
)
なる点で曲線
C
に接する円のほかに、半径
......[
答
]
の円が
x
座標が
,
なる
2
点において曲線
C
に接することになります。
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