慶大理工数学
'08
年
[B1]
n
は正の整数とする。
(1)
ヘ
である。
以下で
p
,
q
,
r
は正の実数とする。
とおく。
(2)
すべての
n
に対し
であることを証明しなさい。
(3)
極限
が
0
でない有限の値となるのは、
r
と
p
の間に関係式
ホ
が成り立つときのみである。そのときの極限値を
p
を用いてあらわせば
マ
である。さらに
が
0
でない有限の値となるのは、
p
と
q
の間に関係式
ミ
が成り立つときに限る。
(4)
すべての
n
に対し
が成り立つための必要十分条件は、
かつ
であることを証明しなさい。
解答
2008
年は、江戸時代の和算研究家、関孝和の没後
300
年に当たります。
1712
年、関孝和の死後出版された「括要算法」という本に、本問の
を
n
の式で表したときの係数の記述があるのだそうです。
1713
年に出版された、スイス人数学者、ヤコブ・ベルヌーイの確率論の本には、
の
(
)
の係数は、
(
はベルヌーイ数と言い、
,
,
,
,
,・・・
)
と表されると書いてあり、これと実質的に同じ結果が「括要算法」にも載っているそうです。全く同時期に、鎖国をしていた日本とヨーロッパとで同じ結果を出していたのが凄いと思いますが、本問は関孝和没後
300
年にちなんだ問題なのでしょうか。
(1)(
ヘ
)
(
区分求積法
を参照
)
......[
答
]
(2)
を
数学的帰納法
で証明します。
・
のとき、
よって、成り立ちます。
・
のとき、
が成り立つと仮定します。
両辺に、
を加えると、
よって、
のときも成り立ちます。
以上より、
が成り立ちます。
(
証明終
)
(3)
は
n
の
2
次式、
は
n
の
3
次式、
は
n
の
4
次式なので、
は
n
の
次式で、最高次の係数は
だろうということは予測がつきます。これで、
(
ホ
)
は
,
(
マ
)
は
と埋めることができます。
(
ホ
)
ここでは、
(1)
と同様の計算をして確かめておくことにします。
(
数列の極限
を参照
)
これは、
のときに発散し、
のときに
0
に収束します。
極限
が
0
でない有限の値となるのは、
......[
答
]
のときで、
(
マ
)
その極限値は、
......[
答
]
(
ミ
)
これは、
のときに発散し、
のときに
0
に収束します。
が
0
でない有限の値となるのは、
......[
答
]
のときです。
p
が自然数であれば、連続
p
整数の積の
n
項の和:
を考えることもできます。
(
Σの中を差の形にした
)
(
数列の求和技法
を参照
)
と見ると、
を
n
の多項式で表すとき、最高次の項は、
の最高次の項
に一致することがわかります。
ここからも、この
(3)
を考えることができます。
(4)
“すべての
n
に対し
が成り立つ”
“
かつ
”
と
(2)
により、
は示されています。
を示します。
のとき、
(3)
より、
は有限な値となります。
は、
のときに限り
0
以外の有限な値に収束して、
∴
よって、
より、
より、
,
以上より、すべての
n
に対し
が成り立つための
必要十分条件
は、
かつ
です。
(
証明終
)
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