慶大理工数学'07[B1]

(1) を満たす3次式と、を満たす4次式を求めなさい。また、多項式で、
を満たすものを求めなさい。解答欄には答だけを書くこと。
(2) (1)で求めた多項式とする。とするとき、であるためには、またはまたはであることが必要十分であることを証明しなさい。
(3) の値を求めなさい。値だけでなく、なぜそうなるのかも書くこと。

 自然数nに対して、で与えられるn次多項式をチェビシェフの多項式と言います。の定義域、値域とも、となっていて、のグラフがの正方形の領域にすっぽりと収まるのでハンドリングし易く、入試でもよく採り上げられます。

(1) 3倍角の公式で構わないのですが、も求めるので、ともに、2倍角の公式を使って求めることにします。
 (2倍角の公式を参照)


 (三角関数の諸公式を参照)
......[]
で割る除算を実行することによって、
 ・・・@
......[]

(2) @において、xに入れ替え、和を積に直す公式を用いると、
 ・・・A
これより、とすると、 または
より、
より、
よって、 
(三角関数を含む方程式を参照)
Aにこのq の値を代入すると、になるので、
@において、とすると、
は、互いに異なる値になります。
より、は、の解ではありません
(因数定理を参照)
従って、は、
3次方程式の異なる3個の解であり、3次方程式は高々3個の解しか持たないので、3次方程式の全ての解です。
以上より、とするとき、であるためには、またはまたはであることが必要十分です。 
(証明終)

(3) とおくと、
の係数を比較することにより、
......[]


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