慶大理工数学'07[A2]

(1) 2つの行列AP
とする。ただし、abkはいずれも実数で、であり、Pは逆行列をもつとする。このとき、ab を実数として
となるように定数kの値を定めると、 キ である。また、ab abを用いて表すと、 ク  ケ となる。したがって、行列An個の積
とすると、abnを用いて、 コ  サ と表すことができる。
(2) であるような実数tに対し、行列Aと、座標平面上の点 を、
と定義する。このとき、すべてのnについてを満たすtの値の範囲を不等式で表すと、 シ となる。この場合、としても点は原点には近づかない。のときに点が原点に限りなく近づくようなtの値の範囲を不等式で表すと、 ス となる。

解答 ab は、行列A固有値で、行列A対角化をベースにした問題ですが、等比数列の収束条件をからめた計算問題に過ぎません。基礎のしっかりした受験生なら手が止まるところはありません。
式が長くならないように、
abgdに結果を代入してしまわないで、abgdを使って、計算を進めていくのがコツです。

(1) () の左からPをかけると(行列の対角化を参照)
つまり、
 (行列の積を参照)
 ・・・@,  ・・・A,  ・・・B
k−Bより、
より、
では、となり、より、が存在しなくなるので、 
(逆行列を参照)
......[]
() @より、
......[]
() Aより、
......[]
() ()より、
の両辺をn乗すると、
より、
 (行列の累乗を参照)
左からP,右からをかけて、
()()より、

......[]
()  ......[]

(2) () (1)Aにおいて、として考えます。
より、
すべてのnについてより、
......[]
このとき、より、のとき、となり、点は、原点に近づきません(等比数列の極限を参照)
() のとき、が原点に近づくことより、
よって、 かつ  (等比数列の極限を参照)
かつ
かつ
......[]


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