慶大理工数学'07[A1]

(1) とする。実数aに対して、
を考える。を最小にするようなaとするとき、 ア  イ である。
次に、関数
と、実数bcに対して、
を考える。を最小にするようなbcをそれぞれとすれば、
 ウ  エ である。
(2) 9角形の3つの頂点でできる()個の三角形のうち、鈍角三角形の個数は オ 個である。一般に、正整数nに対して、正角形の3つの頂点でできる鈍角三角形は、全部で カ 個ある。

解答(1)() 
 (不定積分の公式を参照)
 (aについて2次関数なので平方完成する)
 (2次関数の最大最小を参照)
これを最小にするaは、
......[]
() のとき、 (極限の公式を参照)
1 ......[]

() となることに注意して、

は、bcに依存しない定数。




これを最小にするbcは、
のとき、
......[]
() 0 ......[]

(2)() 正9角形の頂点に順に、,・・・,と名前をつけます。
三角形が鈍角三角形になるのは、9角形の外接円の直径の片側に3頂点がくる場合です。
ここでは、最大辺に目をつけます。
重複して数えないように、最大辺で正
9角形を2つに分けるとき、小さい方の多角形に含まれる三角形のみを考えることにします。
(i) 最大辺の両端が隣接2頂点になることはありません。
(ii) 最大辺の両端が1頂点おいた2頂点、例えば、のとき、三角形のもう一つの頂点はであって、三角形は鈍角三角形です。このタイプの鈍角三角形は、最大辺の選び方だけ9個あります。
(iii) 最大辺の両端が2頂点おいた2頂点、例えば、のとき、三角形のもう一つの頂点は、またはです。三角形,三角形は鈍角三角形です。最大辺の選び方が9通りあり、各々について残る頂点の選び方が2通りあるので、このタイプの鈍角三角形は個あります。
(iv) 最大辺の両端が3頂点おいた2頂点、例えば、のとき、三角形のもう一つの頂点は、またはまたはです。三角形,三角形,三角形は鈍角三角形です。最大辺の選び方が9通りあり、各々について残る頂点の選び方が3通りあるので、このタイプの鈍角三角形は個あります。
これですべての場合です。
鈍角三角形は、個あります。
54 ......[]

() 正角形の場合(9角形はの場合になります)、最大辺の両端の頂点は、1頂点おいた2頂点、から、頂点おいた2頂点までの可能性があります。
9角形のときと同様に考えて、最大辺で正角形を2つに分けるとき、小さい方の多角形に含まれる三角形のみを考えることにします。
最大辺が
k頂点おいた2頂点となる場合()、このk個の頂点が三角形の残る頂点となる可能性があるのでk通りの三角形ができます。
いずれの
kの値についても、最大辺の選び方は通りあり、鈍角三角形は、
あります。 (Σの公式を参照)
......[]


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