慶大理工数学'06[A4]

(1) 積分
 ()
において、 ()とおくと、であることを示しなさい。
(2) 関数
 ()
を極方程式とする座標平面上(xy座標)の曲線を考える。偏角q をもつ点における接線の傾きは、q を用いて表すと チ となり、
 ツ  テ 
である。
(3) (2)の曲線において、y座標が最大となる点を求め、曲線の概形を図示しなさい。解答は計算も含めて解答欄に書きなさい。

解答 (1)  ()とおくと、
積分は、とおくと、より、tのとき、より、j (置換積分置換積分(その2)を参照)

(2)()



......[] (媒介変数表示された関数の微分法を参照)

() としてとすると、より、
......[]
() としてとすると、より、は分母も分子もともに0に近づきます。
分子で0に近づくのは,分母で0に近づくのは
これを分母、分子で約分できる形とするために、分母・分子に、をかけます
(不定形の極限を参照)


としてとすると、であって、
......[]

(3)
において、より、,つまり、のときに、yは最大値:をとります(2次関数の最大最小を参照)
のとき、
よって、
y座標が最大となる点は、 ......[]
曲線の概形は右図。


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