慶應大学理工学部2005年数学入試問題
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
[A1] 空間内のxy平面上において ()で表される曲線をCとする。C上の点Pをとり、原点からPまでの曲線の長さをsとする。空間内でPの真上に点Qをとる。
(1) 曲線の長さsをxの関数としてで表す。= ア であり、またとおくと、= イ であるから、= ウ となる。したがって、線分PQの長さはxの関数となり、特に= エ である。 (2) 点Pからx軸へおろした垂線の足をRとし、PQとPRを2辺とする長方形をの範囲で動かして立体をつくる。このとき、この立体の体積は オ である。 [解答へ]
[A2] 点Pが数直線上の整数点(座標が整数である点)を次の規則にしたがって正の方向に移動していく。
(i) 最初の時点でのPの座標は0である(Pは原点Oの上にある)。
(ii) ある時点でのPの座標がkのとき、次の時点でPは座標の点か、または座標の点のどちらかに、それぞれの確率で移動する。 正の整数nに対して、ある時点でPの座標がnとなる確率(すなわち、Pが座標nの点を飛びこえてしまわない確率)をで表す。たとえば、,,= カ ,= キ である。すると、は漸化式= ク をみたす。したがって、をnの式で表すと ケ となり、= コ である。
[解答へ]
[A3] 平面上に4点K,E,I,Oがある。Kは動点で、その座標が時刻t ()の関数として,で与えられている(aは正の実数)。E,I,Oは定点である。2点E,Iを通り、直線に第1象限で接する円の中心の座標は( サ , シ )である。円周角の性質から、が最大となるのはt= ス のときである。そのときの線分OKの長さを,をとするとき、= セ ,= ソ である。
[解答へ]
[B1] 2行2列の行列,を考える。Aにおいて、bとcを入れかえた行列をで表す。すなわち、である。同様に、とおく。以下で、Bはつねにをみたすものとする。
(1) となるための必要十分条件はであることを証明しなさい。 (2) のとき、すべてのBに対してとなることを証明しなさい。 (3) すべてのBに対してが成り立つならば、であることを証明しなさい。 [解答へ]
[B2] 実数tに対して空間の点Pを定め、Pと点Aを結ぶ線分PAがxy平面と交わる点をQとする。
(1) このときa,bをtで表し、,を求めなさい。 (2) tが実数全体を動くとき、Qの軌跡を求めなさい。また軌跡の概形をxy平面上に描きなさい。
[解答へ]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
慶大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2023(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中!理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。