一橋大数学'08年前期[5]

n3以上の整数とする。枚のカードがあり、そのうち赤いカードの枚数は6,白いカードの枚数はである。これら枚のカードを、箱Aと箱Bn枚ずつ無作為に入れる。2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうどk枚入っている確率をとする。
(1) nの式で表せ。さらに、を最大にするnをすべて求めよ。
(2) をみたすnをすべて求めよ。

解答 (1)では、全事象や各根元事象の場合の数を数えるときに、各1通りが「同様に確からしい」か、ということを意識する必要があります。ダイヤのキングだけ欠けているトランプカード51枚から1枚引くとき、ダイヤかハートかスペードかクラブが出るから、ダイヤの出る確率4つのうち1つで、とするのは誤りです。ダイヤの出る事象とハートが出る事象とは、「同様に確からしい」とは言えないのです。
(2)はうまい考え方を工夫して悩む間にどんどん計算してしまう方が早いと思います。大した計算ではありません。

(1) 全事象は、枚のカードを1列に並べたとき、そのうちのどの6枚を赤にするか、という場合の数で、枚から6枚を選ぶ組み合わせの数通りあります。また、これら各1通りは、すべて同じ確率で起こります。

のとき、枚のカードは全部赤で、6枚の赤を2枚と4枚に分けて2つの箱に題意のように入れることは不可能なので、です。
のときを考えます。
Aに赤いカードを2枚入れると箱Bには赤いカードは4枚入ります。
An枚のうちどの2枚を赤にするか、という場合の数は、通りで、箱Bn枚のうちどの4枚を赤にするか、という場合の数は、通りです。
A2枚の入り方、箱B4枚の入り方は、独立なので、箱Aに赤いカードを2枚、箱Bに赤いカードを4枚入れる場合の数は、通りです。
また、箱
Aに赤いカードを4枚、箱Bに赤いカードを2枚入れる場合の数も、通りで、(2枚、4)の場合と、(4枚、2)の場合とは排反なので、2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうど2枚入る確率は、
......[] (のときも、なので、これでよい)
として、
とすると、


つまり、のとき、
のとき、
のとき、
となります。

これより、を最大にするnは、 ......[]

(2) のとき、箱Aに赤カードが0枚、箱Bに赤カードが6枚となる場合の数は、(1)と同様に考えて、通りあり、2つの箱の少なくとも一方に赤いカードが0枚入る確率は、
 ・・・@
の場合には、2つの箱の少なくとも一方に赤いカードが0枚入る(他方に6枚入る)ことはあり得ないので、ですが、@はこれを満たしています。
のとき、箱
Aに赤カードが1枚、箱Bに赤カードが5枚となる場合の数は、(1)と同様に考えて、通りあり、2つの箱の少なくとも一方に赤いカードが1枚入る確率は、
 ・・・A
の場合には、2つの箱の少なくとも一方に赤いカードが1枚入る(他方に5枚入る)ことはあり得ないので、ですが、Aはこれを満たしています。
Aに赤カードが3枚、箱Bに赤カードが3枚入る場合の数は、通りあり、2つの箱の少なくとも一方に赤いカードが3枚入る確率は、
 (2がかからないことに注意)
の分母には、いずれも、がつくので、の両辺に、をかけて分母を払うことにより、




これと、より、をみたすnは、
......[]
追記.2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうどk枚入る、というkは、
4通りしかないので、実は、です。
これを利用した要領の良い解答が、旺文社入試問題正解に載っています。


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