一橋大数学'08年前期[3]

aを正の実数とする。点が、不等式の定める領域を動くとき、常にとなる。aの値の範囲を定めよ。

解答 まず、
かつ ” ・・・@
の定める領域を調べます。
境界線は、

 ・・・A と  ・・・B
です。
A,Bを連立すると、



よって、@をみたす領域は、右図黄緑色着色部分(境界線含む)のように、において、放物線から上でかつ直線から下の領域です。

かつ ” ・・・C
をみたす領域は、右図黄色着色部分(境界線含む)のように、放物線 ・・・D から上でかつ放物線 ・・・E から下の領域です。
「点が、不等式の定める領域を動くとき、常にとなる」 ・・・()
というのは、@で定まる領域が、Cで定まる領域の中にスッポリと入ってしまう、ということです。
図を見ると、このためには、@の境界線のの部分が領域Cに入ってしまえばよいことがわかります。
さらに、@の境界線のの部分がCに入ってしまうためには、@の左端の点,右端の点がEから下にあり、Aのの部分がDから上に来ればよいことになります。つまり、

()
(i) がEから下:
かつ
(ii) がEから下:
かつ
(iii) において、

(i)より、
 ・・・F
(ii)より、
 ・・・G
(iii)より、において、
整理して平方完成すると(2次関数を参照)
このためには、Gよりなので、
 ・・・H

FかつGかつHより、
......[]


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