一橋大数学'08年前期[2]

3次方程式は異なる3つの解pqrをもつ。さらに、も同じ方程式の異なる3つの解である。abcpqrの組をすべて求めよ。

解答 いろいろなことが考えられます。例えば、3次方程式のxに、を代入してみると、
この2式で、共通解を考えたり、除算してみたり、ということも考えられますが、文字数が多くて始末に負えなくなります。
次に、
解と係数の関係から、


とすることも考えられますが、次数が高くなってやはり手に負えません。
文字数をふやさずに、かつ、次数が高くならないような、解法を探すことになります。

同じ
3次方程式の3つの異なる解が、2つの別の形で与えられている、ということはどういうことかと言うと、
だとすると、もそれぞれ、abg のどれかだということです。
これならば、
3つの異なるものの順列の通りの場合分けをすれば、文字数をふやさずに、かつ、次数を高くせずに調べることができそうです。
その際に、一つ考えたいのが、問題文の
qrを入れ替えて読んでも、問題の意味は変わらない、ということです。
qrの対称性より、が求める組であれば、も求める組になる」と書いて大丈夫だと思いますが、心配なら、場合分けするときに、の場合を調べておけば、の場合については、「先に調べた場合のqrと入れ替えることにより、同様の結果となる」と書いておけば良いでしょう。

(1) のとき、
(i) のとき、
となるので不適。
(ii) のとき、

となるので不適。
結局、
(1)はすべての場合に不適です。

(2)  ・・・@ のとき、
(i) のとき、
また、

より、
このとき、3次方程式の解と係数の関係より、


(ii) のとき、
@に代入して、


のとき、となるため不適。
のとき、




(3) のとき、(2)の場合でqrを入れ替えることにより、
(i)
abc(2)(i)の場合の値と同じ。
(ii)
abc(2)(ii)の場合の値と同じ。

以上より、

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