一橋大数学'08年前期[1]

kを正の整数とする。をみたす整数nが、ちょうど1個であるようなkをすべて求めよ。

解答 xの方程式: ・・・@ は、判別式Dについて、
のとき実数解をもちます
(2次方程式の一般論を参照)。少なくとも、
 ・・・A
であることが必要です。Aの条件下で、@を解くと、
従って、題意を満たすためには、
 ・・・B
の範囲に整数がちょうど1個存在するようにkを決めなければいけません。そのためには、Bの範囲の幅が1以上であって、かつ、2未満である必要があります。

これより、

これをみたす正の整数kは、しかありません。
(i) のとき、Bの範囲は、
となりますが、より、
従って、Bをみたす整数は、のみで、ちょうど1個です。
(ii) のとき、Bの範囲は、
より、Bをみたす整数は、のみで、ちょうど1個です。
以上より、 ......[]


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