一橋大数学'05年前期[4]

aを定数とし、x2次関数を次のように定める。
(1) 2つの放物線2つの共有点をもつようなaの範囲を求めよ。
(2) (1)で求めた範囲に属するaの値に対して、2つの放物線によって囲まれる図形をとする。の面積をaで表せ。
(3) a(1)で求めた範囲を動くとき、少なくとも1つのに属する点全体からなる図形の面積を求めよ。

解答 定番の頻出問題です。(3)xを固定しaの関数とみて最大値を考え、領域を求めます。

(1) を連立して、
整理すると、
 ・・・@
2つの放物線2つの共有点をもつとき、2次方程式@は、相異なる2実数解をもち、判別式Dは、
 ・・・A
......[]

(2) であるときに、@の2解をab ()として、においてはより、面積は、
 (2解がab であることに注意)
 ・・・B (定積分の公式を参照)
ところで、とAより、
Bに代入して、
......[]

(3) のグラフは、aが動くとあちこち動き回って考えにくいので、あるx座標のところでだけ考えることにします。このx座標のところでは、aが変わるとグラフが動くのに伴い、y座標が変化します。このy座標のとり得る範囲が、「少なくとも1つのに属する点全体からなる」図形Kをこのx座標のところで切断したときのy座標の範囲になります。
そこで、xを固定してaを動かしたときのyの範囲を考えることにします(2次関数の最大最小を参照)
yの最大値については、軸位置が、範囲の右側にあるのか(,つまり)、含まれるのか()、左側にあるのか()で場合分けし、yの最小値については、軸位置が範囲の中間位置の左側か()右側か()で場合分けして考えることにします。

(i) のとき、軸位置は範囲の右側に来ます。右図より、yの最大値は、のとき、
(ii) のとき、軸位置は範囲の中にあります。右図より、yの最大値は、のとき、
(iii) のとき、軸位置は範囲の左側に来ます。右図より、yの最大値は、のとき、
(iv) のとき、軸位置は範囲の中間位置よりも右に来ます。右図より、yの最小値は、のとき、
(v) のとき、軸位置は範囲の中間位置よりも左に来ます。右図より、yの最小値は、のとき、
境界線の ・・・C と、 ・・・D を連立すると、


CとDはにおいて接します。
境界線の ・・・E と、Dを連立すると、

EとDはにおいて接します。
境界線の ・・・F と、Dを連立すると、


FとDはにおいて交わります。
以上より、図形
Kは、から上側でから下側の部分になります(右図黄緑色着色部分)。その面積は、
......[]
注.図形Kを不等式で表すと以下のようになります。
かつ
に注意してください。


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