一橋大数学'05年前期[2]

原点を中心とする半径1の円をCとし、とする。
ANを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをPとおく。また、BNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをQとおく。
(1) Pの座標をaで表せ。
(2) AQ // PBのとき、となることを示せ。
(3) AQ // PBのとき、aの値を求めよ。

解答 図形と方程式の計算問題です。
(3)は力尽くでやってもよいのですが、ここでは少し工夫してみます。

(1) ANを通る直線は、
 (直線の方程式を参照)
 ・・・@
C ・・・A
@,Aを連立して、
整理すると、
直線ANと円Cとの交点のうちNと異なるものがPなので、として、
@より、
よって、
Pの座標は、 ......[]

(2) BNを通る直線は、@のabと入れ替えて、
これとAを連立してQの座標を求めると、(1)の答のabと入れ替えて、
直線
AQの傾きは、 (直線の方程式を参照)
直線BNの傾きは、
AQ // BNより、両直線の傾きは等しく(2直線の平行・垂直を参照)
 ・・・B
分母を払って整理すると、Bは、abを入れ替えても成り立つ式(交代式と言います)なので、という因数をもちます。これに注意して、
より、で割ると、
整理して、
 ・・・C

(3) 三角形ANB面積S2通りに表すことができます。(2)の結果を利用すると、
底辺,高さの三角形と見ると、
 ・・・D
をCに代入してもよいのですが、4次方程式になってしまうので、Cが対称式であることを利用して、ちょっと工夫します。
 ・・・E
これをCに代入すると、
()
Eを用いて、
() ・・・F
F−Dより、
......[]
別解.余弦定理正弦定理を使うこともできます。
三角形
ANBに余弦定理を用いると、


これとCとからを求めれば、2次方程式の解と係数の関係を用いてaを求めることができます。
三角形
ANBに正弦定理を用いると、より、

(2)の結果を用いると、
これでDが得られます。


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