大阪大学理系2022年数学入試問題

[1]
 rを正の実数とする。複素数平面上で、点zが点を中心とする半径rの円周上を動くとき、
を満たす点wが描く図形を求めよ。
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[2] とする。以下の問いに答えよ。
(1) であることを示せ。
(2) とするとき、が成り立つことを示せ。
(3) は無理数であることを示せ。
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[3] 正の実数t に対し、座標平面上の2PQを考える。t の範囲を動くとき、座標平面内で線分PQが通過する部分を図示せよ。
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[4] とする。以下の問いに答えよ。
(1) 方程式は、の範囲でただ1つの解をもつことを示せ。
(2) (1)の解をαとする。実数xを満たすならば、次の不等式が成り立つことを示せ。
(3) 数列
()
で定める。このとき、すべての自然数nに対して、
が成り立つことを示せ。
(4) (3)の数列について、を示せ。
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[5] 座標平面において、t を媒介変数として
 ()
で表される曲線をCとする。曲線Cx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
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