大学入学共通テスト数学IIB 2022年問題 

[1][1] 座標平面上に点Aをとる。また、不等式
の表す領域をDとする。

(1) 領域Dは、中心が点,半径がの円のである。

の解答群
 周   内部   外部
 周および内部   周および外部

以下、点
Qとし、方程式
の表す図形をCとする。
(2) Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
(i) (1)により、直線は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
Aを通り、傾きがkの直線をとする。

太郎:直線の方程式はと表すことができるから、これを
に代入することで接線を求められそうだね。
花子:x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも求められそうだよ。

(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。
に代入すると、xについての2次方程式
が得られる。この方程式がのときのkの値が接線の傾きとなる。

の解答群
 重解をもつ
 異なる二つの実数解をもち、一つは
0である
 異なる二つの正の実数解をもつ
 正の実数解と負の実数解をもつ
 異なる二つの負の実数解をもつ
 異なる二つの虚数解をもつ


(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。
x軸と直線AQのなす角をθ ()とすると
であり、直線と異なる接線の傾きはと表すことができる。

の解答群
 
θ      
       
    


(iv) Aを通るCの接線のうち、直線と異なる接線の傾きをとする。このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより
であることがわかる。
直線と領域
Dが共有点をもつようなkの値の範囲はである。

の解答群
    
    
    



[2] abは正の実数であり、を満たすとする。太郎さんはの大小関係を調べることにした。

(1) 太郎さんは次のような考察をした。
まず、である。この場合
が成り立つ。
一方、である。この場合
が成り立つ。
(2) ここで
 ・・・@
とおく。
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しいことを確かめることにした。
 ・・・A
@により、である。このことよりが得られ、Aが成り立つことが確かめられる。

の解答群
       
       

の解答群
       
       


(3) 次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして
 ・・・B
を満たす実数t ()の値の範囲を求めた。

太郎さんの考察
ならば、Bの両辺にt を掛けることにより、を得る。このようなt ()の値の範囲はである。
ならば、Bの両辺に
t を掛けることにより、を得る。このようなt ()の値の範囲はである。

この考察により、Bを満たすt ()の値の範囲は
であることがわかる。
ここで、
aの値を一つ定めたとき、不等式
 ・・・C
を満たす実数b ()の値の範囲について考える。
Cを満たす
bの値の範囲は、のときはであり、のときはである。

の解答群
    
    

の解答群
    
    
(4) とする。
次ののうち、正しいものはである。

の解答群
 かつ
 かつ
 かつ
 かつ

[解答へ]


[2][1] aを実数とし、とおく。


(1) のグラフの概形は
のとき、
のとき、
である。

については、最も適当なものを、右図ののうちから一つずつ選べ、ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(2) とし、pを実数とする。座標平面上の曲線と直線3個の共有点をもつようなpの値の範囲はである。
のとき、曲線と直線2個の共有点をもつ。それらのx座標をqr ()とする。曲線と直線が点で接することに注意すると
と表せる。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい)
    
    
    


(3) 方程式の異なる実数解の個数をnとする。次ののうち、正しいものはである。

の解答群(解答の順序は問わない)
 ならば   ならば
 ならば   ならば
 ならば   ならば



[2] とし、とおく。座標平面上の曲線,曲線とする。

2点で交わる。これらの交点のx座標をそれぞれαβ ()とすると、である。
の範囲でで囲まれた図形の面積を
Sとする。また、とし、の範囲でおよび
直線で囲まれた図形の面積を
Tとする。
このとき


であるので
が得られる。
したがって、となるのはのときである。


の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
    
    
    
    



[解答へ]


[3] 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて41ページの正規分布表を用いてもよい。

ジャガイモを栽培し販売している会社に勤務する花子さんは、
A地区とB地区で収穫されるジャガイモについて調べることになった。

(1) A地区で収穫されるジャガイモには1個の重さが200gを超えるものが25%含まれることが経験的にわかっている。花子さんはA地区で収穫されたジャガイモから400個を無作為に抽出し、重さを計測した。そのうち、重さが200gを超えるジャガイモの個数を表す確率変数をZとする。このときZは二項分布に従うから、Zの平均(期待値)である。

(2) Z(1)の確率変数とし、A地区で収穫されたジャガイモ400個からなる標本において、重さが200gを超えていたジャガイモの標本における比率をとする。このとき、Rの標準偏差はである。
標本の大きさ400は十分に大きいので、Rは近似的に正規分布に従う。
したがって、となるような
xの値はとなる。ただし、の計算においてはとする。

の解答群
          

については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
          


(3) B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さは100gから300gの間に分布している。B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さを表す確率変数をXとするとき、Xは連続型確率変数であり、Xのとり得る値xの範囲はである。
花子さんは、B地区で収穫され、出荷される予定のすべてのジャガイモのうち、重さが200g以上のものの割合を見積もりたいと考えた。そのために花子さんは、Xの確率密度関数として適当な関数を定め、それを用いて割合を見積もるという方針を立てた。
B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモから206個を無作為に抽出したところ、重さの標本平均は180gであった。図1はこの標本のヒストグラムである。
花子さんは図
1のヒストグラムにおいて、重さxの増加とともに度数がほぼ一定の割合で減少している傾向に着目し、Xの確率密度関数として、1次関数
 ()
を考えることにした。ただし、の範囲でとする。
このとき、であることから
 ・・・@
である。
花子さんは、
Xの平均(期待値)が重さの標本平均180gと等しくなるように確率密度を定める方法を用いることにした。
連続型確率密度変数
Xのとり得る値xの範囲がで、その確率密度関数がのとき、Xの平均(期待値)m
で定義される。この定義と花子さんの採用した方法から
 ・・・A
となる。@とAにより、確率密度関数は
 ・・・B
と得られる。このようにして得られたBのは、の範囲でを満たしており、確かに確率密度関数として適当である。
したがって、この花子さんの方針に基づくと、
B地区で収穫され、出荷される予定のすべてのジャガイモのうち、重さが200g以上のものは%あると見積もることができる。

については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
 
33   34   35   36


正規分布表
次の表は、標準正規分布の分布曲線における右図灰色
部分の面積をまとめたものである。

0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.00000.00400.00800.01200.01600.01990.02390.02790.03190.0359
0.10.03980.04380.04780.05170.05570.05960.06360.06750.07140.0753
0.20.07930.08320.08710.09100.09480.09870.10260.10640.11030.1141
0.30.11790.12170.12550.12930.13310.13680.14060.14430.14800.1517
0.40.15540.15910.16280.16640.17000.17360.17720.18080.18440.1879
0.50.19150.19500.19850.20190.20540.20880.21230.21570.21900.2224
0.60.22570.22910.23240.23570.23890.24220.24540.24860.25170.2549
0.70.25800.26110.26420.26730.27040.27340.27640.27940.28230.2852
0.80.28810.29100.29390.29670.29950.30230.30510.30780.31060.3133
0.90.31590.31860.32120.32380.32640.32890.33150.33400.33650.3389
1.00.34130.34380.34610.34850.35080.35310.35540.35770.35990.3621
1.10.36430.36650.36860.37080.37290.37490.37700.37900.38100.3830
1.20.38490.38690.38880.39070.39250.39440.39620.39800.39970.4015
1.30.40320.40490.40660.40820.40990.41150.41310.41470.41620.4177
1.40.41920.42070.42220.42360.42510.42650.42790.42920.43060.4319
1.50.43320.43450.43570.43700.43820.43940.44060.44180.44290.4441
1.60.44520.44630.44740.44840.44950.45050.45150.45250.45350.4545
1.70.45540.45640.45730.45820.45910.45990.46080.46160.46250.4633
1.80.46410.46490.46560.46640.46710.46780.46860.46930.46990.4706
1.90.47130.47190.47260.47320.47380.47440.47500.47560.47610.4767
2.00.47720.47780.47830.47880.47930.47980.48030.48080.48120.4817
2.10.48210.48260.48300.48340.48380.48420.48460.48500.48540.4857
2.20.48610.48640.48680.48710.48750.48780.48810.48840.48870.4890
2.30.48930.48960.48980.49010.49040.49060.49090.49110.49130.4916
2.40.49180.49200.49220.49250.49270.49290.49310.49320.49340.4936
2.50.49380.49400.49410.49430.49450.49460.49480.49490.49510.4952
2.60.49530.49550.49560.49570.49590.49600.49610.49620.49630.4964
2.70.49650.49660.49670.49680.49690.49700.49710.49720.49730.4974
2.80.49740.49750.49760.49770.49770.49780.49790.49790.49800.4981
2.90.49810.49820.49820.49830.49840.49840.49850.49850.49860.4986
3.00.49870.49870.49870.49880.49880.49890.49890.49890.49900.4990

[解答へ]


[4] 以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみなす。数直線上の点の座標が
yであるとき、その点は位置yにあるということにする。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は時刻2に自宅を出発し、正の向きに毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追いかける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
を自転車が
n回目に自宅を出発する時刻とし、をそのときの歩行者の位置とする。

(1) 花子さんと太郎さんは、数列の一般項を求めるために、歩行者と自転車について、時刻xにおいて位置yにいることをOを原点とする座標平面上の点で表すことにした。
により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標はであり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標はである。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標はである。よって
である。
花子:数列の一般項について考える前に、の求め方について整理してみようか。

太郎:花子さんはどうやって求めたの。
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくことを利用したよ。
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算して求めることもできるね。

自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標はであり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標はである。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、を用いて、と表せる。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
       
       
       

以上から、数列について、自然数
nに対して、関係式
 ・・・@
 ・・・A
が成り立つことがわかる。まず、とAから
 ()
を得る。この結果と、および@から
 ()
がわかる。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
    
    
    
    
    
    


(2) 歩行者がの位置に到着するときまでに、自転車が歩行者に追いつく回数は回である。また、回目に自転車が歩行者に追いつく時刻は、である。
[解答へ]


[5] 平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3ABCがあり、およびを満たすとする。t を満たす実数とし、線分ABt に内分する点をPとする。また、直線OP上に点Qをとる。

(1) である。
また、実数kを用いて、と表せる。したがって、
 ・・・@
となる。
が垂直となるのは、のときである。

の解答群
(同じものを繰り返し選んでもよい。)
       
       


以下、とし、が直角であるとする。
(2) が直角であることにより、(1)k
 ・・・A
となることがわかる。

平面から直線
OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。そのうち、点Bを含む部分を,含まない部分をとする。また、平面から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。そのうち、点Aを含む部分を,含まない部分をとする。
ならば、点Q
ならば、点Q

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
 に含まれ、かつに含まれる。
 に含まれ、かつに含まれる。
 に含まれ、かつに含まれる。
 に含まれ、かつに含まれる。


(3) 太郎さんと花子さんは、点Pの位置との関係について考えている。
のとき、@とAにより、とわかる。

太郎:のときにも、となる場合があるかな。
花子:t を用いて表して、を満たすt の値について考えればいいと思うよ。
太郎:計算が大変そうだね。
花子:直線OAに関して、のときの点Qと対称な点をRとしたら、となるよ。
太郎:を用いて表すことができれば、t の値が求められそうだね。

直線OAに関して、のときの点Qと対称な点をRとすると
となる。
のとき、となる
t の値はである。
[解答へ]





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(有)りるらる
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