大学入学共通テスト数学IA 2023年問題 

[1][1] 実数xについての不等式
の解は
である。
よって、実数
abcd
を満たしているとき、は負であることに注意すると、のとり得る値の範囲は
であることがわかる。
特に
 ・・・@
であるとき、さらに
 ・・・A
が成り立つならば
 ・・・B
であることが、等式@,A,Bの左辺を展開して比較することによりわかる。

[2](1) Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2ABとなるようにとる。また、円Oの円周上に、2ABとは異なる点Cをとる。

(i) である。また、点Cが鈍角となるようにとるとき、である。

(ii) Cを△ABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、である。また、△ABCの面積はである。

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
          1   
             

(2) 半径が5である球Sがある。この球面上に3PQRをとったとき、これらの3点を通る平面α上でであったとする。
Sの球面上に点Tを三角錐TPQRの体積が最大となるようにとるとき、その体積を求めよう。
まず、であることから、△
PQRの面積はである。
次に、点
Tから平面αに垂直な直線を引き、平面αとの交点をHとする。このとき、PHQHRHの長さについて、が成り立つ。
以上より、三角錐
TPQRの体積はである。

の解答群
    
    
    
 

[解答へ]


[2][1] 太郎さんは、総務省が公表している2020年の家計調査の結果を用いて、地域による食文化の違いについて考えている。家計調査における調査地点は、都道府県庁所在市および政令指定都市(都道府県庁所在市を除く)であり、合計52市である。家計調査の結果の中でも、スーパーマーケットなどで販売されている調理食品の「二人以上の世帯の1世帯当たり年間支出金額(以下、支出金額、単位は円)」を分析することにした。以下においては、52市の調理食品の支出金額をデータとして用いる。
太郎さんは調理食品として、最初にうなぎのかば焼き(以下、かば焼き)に着目し、図1のように52市におけるかば焼きの支出金額のヒストグラムを作成した。ただし、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。
なお、以下の図や表については、総務省の
Webページをもとに作成している。

(1) 1から次のことが読み取れる。
・第1四分位数が含まれる階級はである。
・第3四分位数が含まれる階級はである。
・四分位範囲は

の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
 1000以上1400未満   1400以上1800未満
 
1800以上2200未満   2200以上2600未満
 
2600以上3000未満   3000以上3400未満
 
3400以上3800未満   3800以上4200未満
 
4200以上4600未満   4600以上5000未満

の解答群
 800より小さい
 800より大きく1600より小さい
 1600より大きく2400より小さい
 2400より大きく3200より小さい
 3200より大きく4000より小さい
 4000より大きい


(2)(i) 太郎さんは、東西での地域による食文化の違いを調べるために、52市を東側の地域E(19)と西側の地域W(33)の二つに分けて考えることにした。
(i) 地域Eと地域Wについて、かば焼きの支出金額の箱ひげ図を、図2,図3のようにそれぞれ作成した。
かば焼きの支出金額について、図
2と図3から読み取れることとして、次ののうち、正しいものはである。

の解答群
 地域Eにおいて、小さい方から5番目は2000以下である。
 地域Eと地域Wの範囲は等しい。
 中央値は、地域Eより地域Wの方が大きい。
 2600未満の市の割合は、地域Eより地域Wの方が大きい。

(ii) 太郎さんは、地域Eと地域Wのデータの散らばりの度合いを数値でとらえようと思い、それぞれの分散を考えることにした。地域Eにおけるかば焼きの支出金額の分散は、地域Eのそれぞれの市におけるかば焼きの支出金額の偏差のである。

の解答群
 2乗を合計した値
 絶対値を合計した値
 2乗を合計して地域Eの市の数で割った値
 絶対値を合計して地域Eの市の数で割った値
 2乗を合計して地域Eの市の数で割った値の平方根のうち正のもの
 絶対値を合計して地域Eの市の数で割った値の平方根のうち正のもの


(3) 太郎さんは、(2)で考えた地域Eにおける、やきとりの支出金額についても調べることにした。
ここでは地域Eにおいて、やきとりの支出金額が増加すれば、かば焼きの支出金額も増加する傾向があるのではないかと考え、まず図4のように、地域Eにおける、やきとりとかば焼きの支出金額の散布図を作成した。そして、相関係数を計算するために、表1のように平均値、分散、標準偏差および共分散を算出した。ただし、共分散は地域Eのそれぞれの市におけるやきとりの支出金額の偏差とかば焼きの支出金額の偏差との積の平均値である。

1を用いると、地域Eにおける、やきとりの支出金額とかば焼きの支出金額の相関係数はである。

については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
          
          
    


[2] 太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合について、後の仮定を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、以下では省略する。

仮定−−−−−−−−−−−−−
・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。
・リングを真横から見たときの左端を点A,右端を点Bとし、リングの太さは無視する。
・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつボールの中心がABの中点Mを通る場合を考える。ただし、ボールがリングに当たるとは、ボールの中心とAまたはBとの距離が0.1以下になることとする。
・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点にあるものとする。また、Mを通る、上に凸の放物線をとし、P上を動くものとする。
・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点にあるものとする。また、Mを通る、上に凸の放物線をとし、H上を動くものとする。
・放物線に対して、頂点のy座標を「シュートの高さ」とし、頂点のx座標を「ボールが最も高くなるときの地上の位置」とする。
−−−−−−−−−−−−−−−−

(1) 放物線の方程式におけるの係数をaとする。放物線の方程式は
と表すことができる。また、プロ選手の「シュートの高さ」は
である。
放物線の方程式におけるの係数を
pとする。放物線の方程式は
と表すことができる。
プロ選手と花子さんの「
ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として、次ののうち、正しいものはである。

の解答群
 プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」は、つねに一致する。
 プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、つねにMx座標に近い。
 花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方が、つねにMx座標に近い。
 プロ選手の「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方がMx座標に近いときもあれば、花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の方がMx座標に近いときもある。


(2) 二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している。

−−−−−−−−−−−−−−−−
太郎:例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pがリングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。
花子:Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMAを中心とする半径0.1の円と接するようにとって考えてみたらどうかな。
太郎:なるほど。Pの起動は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図2のように、PDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリングに当たらないね。花子さんの場合も、HがこのDを通れば、ボールはリングに当たらないね。
花子:放物線Dを通る場合でプロ選手と私の「シュートの高さ」を比べてみようよ。
−−−−−−−−−−−−−−−−

2のように、Mを通る直線が、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、との交点をDとする。このとき、である。
よって、放物線
Dを通るとき、の方程式は
となる。
また、放物線
Dを通るとき、(1)で与えられたの方程式を用いると、花子さんの「シュートの高さ」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線
Dを通るとき、プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると、の「シュートの高さ」の方が大きく、その差はボールである、なお、である。

の解答群
 プロ選手   花子さん

については、最も適当なものを、次ののうちから一つ選べ。
 約
1個分  <@1>> 約2個分   約3個分   約4個分

[解答へ]


[3] 番号によって区別された複数の球が、何本かのひもでつながれている。ただし、各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする。次の条件を満たす球の塗り分け方(以下、球の塗り方)を考える。

条件−−−−−−−−−−−−−
・それぞれの球を、用意した5(赤、青、黄、緑、紫)のうちのいずれか1色で塗る。
1本のひもでつながれた二つの球は異なる色になるようにする。
・同じ色を何回使ってもよく、また使わない色があってもよい。
−−−−−−−−−−−−−−−−

例えば図
Aでは、三つの球が2本のひもでつながれている。この三つの球を塗るとき、球1の塗り方が5通りあり、球1を塗った後、球2の塗り方は4通りあり、さらに球3の塗り方は4通りある。したがって、球の塗り方の総数は80である。


(1) Bにおいて、球の塗り方は通りある。


(2) Cにおいて、球の塗り方は通りある。


(3) Dにおける球の塗り方のうち、赤をちょうど2回使う塗り方は通りある。


(4) Eにおける球の塗り方のうち、赤をちょうど3回使い、かつ青をちょうど2回使う塗り方は通りある。


(5) Dにおいて、球の塗り方の総数を求める。そのために、次の構想を立てる。

構想−−−−−−−−−−−−−
Dと図Fを比較する。

−−−−−−−−−−−−−−−−
Fでは球3と球4が同色になる球の塗り方が可能であるため、図Dよりも図Fの球の塗り方の総数の方が大きい。
Fにおける球の塗り方は、図Bにおける球の塗り方と同じであるため、全部で通りある。そのうち球3と球4が同色になる球の塗り方の総数と一致する図として、右ののうち、正しいものはである。したがって、図Dにおける球の塗り方は通りある。


(6) Gにおいて、球の塗り方は通りある。
[解答へ]


[4] 色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分あるものとする。

(1) 横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462110の両方を割り切る素数のうち最大のものはである。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さがのものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、
462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値がになるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さがのものである。


(2) 花子さんと太郎さんは、(1)で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さがのものであり、図2のような長方形は縦の長さがの倍数である。
二人は、次のように話している。

−−−−−−−−−−−−−−−−
花子:赤い長方形を青い長方形を図2のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎:赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図2のような正方形の横の長さは462363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子:正方形だから、横の長さはの倍数でもないといけないね。
−−−−−−−−−−−−−−−−

462363の最大公約数はであり、の倍数のうちでの倍数でもある最小の正の整数はである。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も
1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さがのものであることがわかる。
[解答へ]


[5](1) 円Oに対して、次の手順1で作図を行う。


手順1 −−−−−−−−−−−−
(Step 1) Oと異なる2点で交わり、中心Oを通らない直線を引く。円Oと直線との交点をABとし、、線分ABの中点Cをとる。
(Step2) Oの周上に、点Dが鈍角となるようにとる。直線CDを引き、円Oとの交点でDとは異なる点をEとする。
(Step3) Dを通り直線OCに垂直な直線を引き、直線OCとの交点をFとし、円Oとの交点でDとは異なる点をGとする。
(Step4) Gにおける円Oの接線を引き、直線との交点をHとする。
−−−−−−−−−−−−−−−−

このとき、直線と点
Dの位置によらず、直線EHは円Oの接線である。このことは、次の構想に基づいて、後のように説明できる。

構想−−−−−−−−−−−−−
直線
EHが円Oの接線であることを証明するためには、
であることを示せばよい。
−−−−−−−−−−−−−−−−


手順1(Step1)(Step4)により、4CGHは同一円周上にあることがわかる。よって、である。一方、点Eは円Oの周上にあることから、がわかる。よって、であるので、4CHGは同一円周上にある。この円が点を通ることにより、を示すことができる。

の解答群
 B   D   F   O

の解答群
             

の解答群
             

の解答群
 A   D   E   F


(2) Oに対して、(1)手順1とは直線の引き方を変え、次の手順2で作図を行う。

手順2 −−−−−−−−−−−−
(Step1) Oと共有点をもたない直線を引く。中心Oから直線に垂直な直線を引き、直線との交点をPとする。
(Step2) Oの周上に、点Qが鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
(Step3) Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
(Step4) Sにおける円Oの接線を引き、直線との交点をTとする。
−−−−−−−−−−−−−−−−

このとき、である。
Oの半径がで、であったとすると、3OPRを通る円の半径はであり、である。

の解答群
             
[解答へ]



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