東京大学2021年前期物理入試問題

[1]
 図1-1に示すようなブランコの運動について考えてみよう。ブランコの支点をOとする。ブランコに乗っている人を質量mの質点とみなし、質点Pと呼ぶことにする。支点Oから水平な地面におろした垂線の足をGとする。ブランコの長さOP,支点Oの高さOGとする。ブランコの振れ角θとし、θOGを基準に反時計回りを正にとる。重力加速度の大きさをとする。また、ブランコは紙面内のみでたわむことなく運動するものとし、ブランコの質量や摩擦、空気抵抗は無視する。

T 以下の文章の ア  ウ にあてはまる式を、それぞれ直後の括弧内の文字を用いて表せ。

質点Pから静かに運動を開始したとする。支点Oにおける位置エネルギーを0とすると、運動を開始した時点における質点Pの力学的エネルギーは ア  (m)で与えられる。角度θにおける力学的エネルギーは、そのときの質点Pの速さをuとして イ  (uθm)で与えられる。力学的エネルギー保存則から、 ウ  (θ)となる。

U ブランコに二人が乗った場合を考えよう。質量の質点Aと、質量の質点Bを考える。図1-2に示すように、初期状態ではABが合わさって質点Pをなしているとし、質点Pから静かに運動を始めたとする。においてAはブランコを飛び降り、速さで水平に運動を始めた。一方、Aが飛び降りたことにより、Bを乗せたブランコはでそのまま静止した。その後Aに着地した。

(1) Aが飛び降りる直前の質点Pの速さをとして、を用いて表せ。

(2) 距離hを用いて表せ。また、のとき、距離を有効数字2桁で求めよ。

V ブランコをこぐことを考えよう。ブランコに乗った人が運動の途中で立ち上がったりしゃがみこんだりすることで、ブランコの振れ幅が変化していく。
まず図1-3に示すように、人がブランコで一度だけ立ち上がることを以下のように考える。質量mの質点P ()から静かに運動を始めた。次に角度において人が立ち上がったことにより、OPの長さがからへと瞬時に変化したとする()OPの長さが変化する直前のPの速さをvとし、直後の速さをとする。その後、OPの長さがのままPは運動を続け、角度 ()で静止した。ただし以下では、ブランコの振れ角θは常に十分小さいとして、と近似できることを用いよ。

(1) を用いて表せ。

OPの長さが変化する前後に関して以下のように考えることができる。長さOPの変化が十分速ければ、瞬間的にOP方向の強い力が働いたと考えられる。Oを中心とした座標系で考えると、この力は中心力なので、面積速度が長さOPの変化の前後で一定であるとしてよい。つまり、が成り立つ。

(2) を用いて表せ。

(3) を最大にすると、その時のを用いて表せ。

次に、人が何度も立ち上がったりしゃがみこんだりしてブランコをこぐことを、以下のようなサイクルとして考えてみよう。n回目のサイクル ()を次のように定義する。
で静止した質点POPの長さで静かに運動を開始する。において立ち上がりOPの長さがからへと瞬時に変化する。質点POPの長さのまま角度で静止した後、逆向きに運動を始め、角度で再び静止する。このとき、でしゃがみこみ、OPの長さはから再びへと瞬時に変化する。」
1回目のサイクルを始める前、質点P ()にあり、OPの長さはだった。その後、サイクルを開始し、以下順次,・・・と運動を続けていくものとする。

(4) n回目のサイクルの後のブランコの角度を、nを用いて表せ。

(5) のとき、N回目のサイクルの後に、初めてとなった。Nを求めよ。ただし、,およびであることを用いてもよい。

[解答へ]


[2] 面積Sの厚みの無視できる金属の板Aと板Bを空気中で距離dだけ離して平行に配置した。dは十分に小さく、板の端の効果は無視する。図2-1のように、板、スイッチ、直流電源、コイルを導線でつないだ。直流電源の内部抵抗や導線の抵抗は無視できるほど小さい。空気の誘電率をεとする。

T 図2-1のように、スイッチを1につなぎ、板Aと板Bの間に直流電圧V ()を加えたところ、板ABにそれぞれ電荷Qが蓄えられ、の関係があることがわかった。

(1) Sdεを用いて表せ。
(2) ABと同じ形状をもつ面積Sの厚みの無視できる金属の板Cを図2-2のように板Aと板Bの間に互いに平行になるように差し入れた。板Aと板Cの距離はx ()である。さらに、板Aと板Cを太さの無視できる導線aで接続し、十分時間が経過したところ、板ACBに蓄えられた電荷はそれぞれ一定となった。板ACBからなるコンデンサーに蓄えられた静電エネルギーを求めよ。


(3) 外力を加え、板Cをゆっくりと板Aに近づけて板Aと板Cの距離をにした。導線aはやわらかく、板Cを動かすための力には影響がないとする。板Cに外力がした仕事Wを求めよ。また、Wは電源がした仕事の何倍であるか正負の符号も含めて答えよ。

U 設問T(3)の状態から、板ABCと同じ形状をもつ面積Sの厚みの無視できる金属の板Dを、板Cと板Bの間に互いに平行になるように差し入れた。板Cと板Dの距離はである。さらに、板Cと板Dを太さの無視できる導線bで接続した。十分時間が経過して各板に蓄えられた電荷がそれぞれ一定となった後に、図2-3のように導線aを外した。

(1) Aに蓄えられた電荷は,板Bに蓄えられた電荷はと表される。に入る数を答えよ。

(2) その後、直流電源の電圧をα()してとし、十分時間が経過したところ、各板に蓄えられた電荷はそれぞれ一定になった。板Aの板Cに対する電位,板Dの板Bに対する電位を求めよ。

V 設問U(2)の状態から、時刻で図2-4のようにスイッチを1から2につなぎかえたところ、コイルにはと表される電流Iが流れることが分かった。ただし、図中の矢印の向きを電流の正の向きにとる。コイルの抵抗は無視でき、自己インダクタンスはLである。他に説明がない場合は、直流電源の電圧はとする。

(1) TLを用いて表せ。

(2) でコイルの両端にかかる電圧を答えよ。また、TVLを用いて表せ。ただし、微小時間の間の電流変化はであることを用いてよい。

(3) ABの電荷をそれぞれとすると、のときの関係が成り立つ。に入る数を答えよ。また、となる時刻Tを用いて表せ。ただしとする。

(4) ACDBからなるコンデンサーに蓄えられる静電エネルギーが、のときにのときにであった。をそれぞれVを用いて表せ。また、として、を含み、VおよびTを含まない形で表せ。

直流電源の電圧が ()であった場合を考える。

(5) あるαに対して、の変化の様子を表す最も適切な図を図2-5の@〜Eから選び、番号で答えよ。図中で点線はを表し、実線はを表す。

[解答へ]


[3] 2018年のノーベル物理学賞は、「レーザー物理学分野における画期的な発明」に対して授与され、そのうちの1つは光ピンセット技術に関するものであった。光ピンセットとは、レーザー光で微小な粒子等を捕捉する技術である。本問では、光が微粒子に及ぼす力を考察することで、光で微粒子が捕捉できることを確認してみよう。
以下、図
3-1に例を示すように、真空中に屈折率n ()の球形の微粒子があり、そこを光線が通過する状況を考える。光は光子という粒子の集まりの流れであり、光子は運動量をもつので、光の屈折に伴い光子の運動量が変化して、それが微粒子に力を及ぼすと考えられる。そこで以下では、光子の運動量の変化の大きさは、その光子が微粒子に及ぼす力積の大きさに等しいとする。また、光の吸収や反射の影響は無視する。さらに、微粒子に対して光線は十分に細く、光線の太さは考えない。

T 図3-1に示すように、真空中の微粒子を光線が通過している。微粒子の中心Oは光線と同一平面内にある。微粒子は固定されており、動かない。図3-2に示すように、光線が微粒子に入射する点を点A,微粒子から射出する点を点Bとする。入射前の光線を延長した直線と、射出後の光線を延長した直線の交点を点Cとする。線分ABと線分OCの交点を点Dとする。以下の設問に答えよ。
(1) 光が微粒子に入射する際の入射角をθ,屈折角をϕとする。を、nを用いて表せ。

(2) 光線中を同じ方向に流れる光子の集まりがもつ、エネルギーの総量Eと運動量の大きさの総量pの間には、真空中ではという関係が成り立つ。ここで、cは真空中の光の速さである。図3-1の光は、単位時間あたりQのエネルギーをもって、光源から射出されている。このとき、時間の間に射出された光子の集まりが真空中でもつ運動量の大きさの総量pを、Qcnのうち必要なものを用いて表せ。

(3) 3-1に示すように、微粒子に入射する前の光子と、微粒子から射出した光子は、運動量の大きさは変わらないが、向きは変化している。時間の間に射出された光子の集まりが、微粒子を通過することにより受ける運動量の変化の大きさの総量を、pθϕを用いて表せ。また、その向きを、点OABCのうち必要なものを用いて表せ。

(4) この微粒子が光から受ける力の大きさf を、Qcθϕのうち必要なものを用いて表せ。また、その向きを、点OABCのうち必要なものを用いて表せ。

(5) 3-2に示すように、OD間の距離をd,微粒子の半径をrとする。角度θϕが小さいとき、設問T(4)で求めた力の大きさf を、Qcnrdのうち必要なものを用いて表せ。小さな角度δに対して成り立つ近似式を使い、最終結果には三角関数を含めずに解答すること。

U 図3-3,図3-4に示すように、強度(単位時間あたりのエネルギー)の等しい2本の光線が点Fで交わるよう光路を調整したうえで、設問Tと同じ微粒子を、それぞれ異なる位置に置いた。いずれの図においても、入射光が鉛直線(上下方向)となす角度は2本の光線で等しく、2本の光線と微粒子の中心Oは同一平面内にある。微粒子は固定されており、動かない。以下の設問に答えよ。力の向きについては、設問の指示に従って、力が働く場合は図3-3の左側に図示した上下左右のいずれかを解答し、力が働かない場合は「力は働かない」と答えること。

(1) 3-3に示すように、微粒子の中心Oが点Fと一致しているとき、微粒子が2本の光から受ける合力の向きとして最も適切なものを「上」「下」「左」「右」「力は働かない」から選択せよ。

(2) 3-4に示すように、微粒子の中心Oが点Fの下にあるとき、微粒子が2本の光から受ける合力の向きとして最も適切なものを「上」「下」「左」「右」「力は働かない」から選択せよ。点Fは微粒子の内部にあり、OF間の距離は十分小さいものとする。

(3) 設問U(2)において、OF間の距離をとするとき、微粒子が2本の光から受ける合力の大きさの間の関係について、最も適切なものを以下のア〜エから選択せよ。なお、微粒子の半径rと比べては小さく、設問T(5)の近似が本設問でも有効である。図3-4は、の大きさが誇張して描かれているので注意すること。
ア:によらず一定である。
イ:に比例する。
ウ:に比例する。
エ:に反比例する。

V 図3-5に示すように、水平に置かれた薄い透明な平板の上方、高さrの位置にある点Fで、強度の等しい2本の光線(光線1,光線2)が交わるよう光路を調整したうえで、設問T,設問Uと同じ、半径rの微粒子を置いた。微粒子は常に平板と接触しており、微粒子と平板の間に摩擦はないものとする。微粒子には、外部から右向きに大きさの力が働いており、この力と、2本の光線から受ける力が釣り合う位置で微粒子は静止している。すなわち、この微粒子は、光によって捕捉されている。OF間の距離はとし、点Fは、微粒子の内部、中心O付近にある。また、入射光が鉛直線となす角度α2本の光線で等しく、2本の光線と点Oは同一平面内にある。平板は十分に薄く、平板による光の屈折や反射、吸収は考えない。光が微粒子に入射する際の入射角θ2本の光線で等しく、それに対する屈折角をϕとする。微粒子や平板の変形は考えない。

(1) 3-5に示すように、光線1が微粒子に入射する点を点Aとし、微粒子の中心Oから微粒子内の光線1の上に降ろした垂線の長さをdとする。また、図3-6に示すように、点Oから直線AFに降ろした垂線の長さをhとする。hおよびdを、nαのうち必要なものを用いて表せ。

(2) ここで用いた2本の光線は、それぞれ、単位時間あたりQのエネルギーをもって、光源から射出されていた。入射角θや屈折角ϕが小さく、設問T(5)と同じ近似が成り立つとして、2本の光線が微粒子に及ぼす合力の大きさを、Qcnrαを用いて表せ。ただし、θϕは十分に小さいため、と近似でき、合力の向きは水平方向とみなすことができる。

(3) ()としたところ、()であった。このとき、外部から微粒子に加えている力の大きさを、有効数字1桁で求めよ。真空中の光の速さはである。図3-5,図3-6は、α等の大きさが正確ではないので注意すること。
[解答へ]





   東大理系物理TOP   物理TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元