東大物理'13年前期[1]

次のT,Uの各問に答えよ。
T 図11のように、なめらかな水平面上で、ばね定数がkのばね2本を向かい合わせに、それぞれ左側および右側の壁に一端を固定し、他方の端に同じ質量mの小球1および小球2をそれぞれ取り付けた。ばねが自然長のとき、小球間の距離はdであった。ただし、小球の大きさとばねの質量は無視してよい。
今、図12のように、小球1を、ばねが自然長になる位置から、ばねが縮む方向に距離sだけ動かし()、そこで静かに放した。以下の設問に答えよ。
(1) 小球1は動き始め小球2に衝突した。衝突直前の小球1の速さを求めよ。
(2) 小球どうしの衝突は弾性衝突であるとして、この衝突直後の小球1と小球2の速さをそれぞれ求めよ。
(3) この衝突後、再び衝突するまでに、小球1側のばねおよび小球2側のばねは、それぞれ自然長から最大どれだけ縮むか答えよ。
(4) の場合に、最初の衝突から再衝突までの時間を求めよ。
U 次に、あらい水平面上に、Tと同じばねと小球を用意した場合を考える。どちらの小球も水平面との間の静止摩擦係数はμ,動摩擦係数はである。重力加速度の大きさをgとして以下の設問に答えよ。
(1) Tと同じように(12)、小球1を、ばねが自然長になる位置から、ばねが縮む方向に距離sだけ動かし、そこで静かに放した。小球1が動き始めるために、sがみたすべき条件を求めよ。
(2) 小球1が動き始めた後、小球2に衝突するためにsがとるべき最小値を求めよ。

解答 ばねを含めた系でのエネルギーを考える基礎問題です。

T(1) ばねを自然長からsだけ縮めたときのばねの弾性エネルギーです。衝突直前に左のばねはdだけ伸びていて弾性エネルギー,求める小球1速さとして運動エネルギー力学的エネルギー保存より、
......[]
(2) 衝突直後の小球1速度,小球2速度とします。
衝突前後の運動量保存より、
 ・・・@
弾性衝突より反発係数は1で、反発係数の式は、

@に代入して、
......[]
(3) 衝突直後の小球1運動エネルギー0弾性エネルギー力学的エネルギー保存より、小球1側のばねが最も縮んだときにも、運動エネルギー0弾性エネルギーとなるので、小球1側のバネは自然長から最大d ......[] 縮みます。
衝突直後の小球2運動エネルギー弾性エネルギー0で、小球2側のばねが自然長から最大縮むとして、力学的エネルギー保存より、
......[]
(4) のとき、
小球1も小球2も同じ周期,同じ振幅d単振動し、衝突後から時間経過後、小球1がはじめにいた位置(小球1側のばねの自然長の位置)で再衝突します。
最初の衝突から再衝突までの
時間は、 ......[]

U(1) 小球1に働く静止摩擦力f とします。小球1に働く力のつり合いより、
小球1が動き始める条件は、静止摩擦力f 最大静止摩擦力を上回ることです。
......[]
(2) 小球1が動き出すとき、運動エネルギー0で、弾性エネルギー,小球1が小球2に衝突するまでに距離動いて、この間に動摩擦力がする仕事は、
衝突直前の小球1速度として、運動エネルギー弾性エネルギーエネルギーの原理より、
小球1が動き始めた後、小球2に衝突するための条件は、となることで、

を解くと、
となりますが、複号の−を採るととなるので、衝突するためのsの条件は、
求めるsの最小値は、......[]


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