東大物理'11年前期[3]

3-1のように、摩擦なしに動くピストンを備えた容器が鉛直に立っており、その中に単原子分子の理想気体が閉じ込められている。容器は断面積Sの部分と断面積の部分からなっている。ピストンの質量は無視できるが、その上に一様な密度の液体がたまっており、つりあいが保たれている。気体はヒーターを用いて加熱することができ、気体と容器壁およびピストンとの間の熱の移動は無視できる。また、気体の重さ、ヒーターの体積、液体と容器壁との摩擦や液体の蒸発は無視でき、液体より上の部分は圧力0の真空とする。重力加速度の大きさをgとする。以下の設問に答えよ。

T まず、気体、液体ともに断面積Sの部分にあるときを考える。このときの液体部分の高さはである。
(1) はじめ、気体部分の高さは,圧力はであった。液体の密度を求めよ。
(2) 気体を加熱して、気体部分の高さをからhまでゆっくりと増加させた(3-2)。この間に気体がした仕事を求めよ。
(3) この間に気体が吸収した熱量を求めよ。

U 気体部分の高さがhのとき、液体の表面は断面積の部分との境界にあった(3-2)。このときの気体の温度はであった。さらに、ゆっくりと気体を加熱して、気体部分の高さはとなった場合について考える(3-3)
(1) では、液体部分の高さが小さくなることにより、気体の圧力が減少した。気体の圧力Pを、xを含んだ式で表せ。
(2) では、加熱しているにもかかわらず、気体の温度はより下がった。気体の温度Tを、xを含んだ式で表せ。
(3) 気体部分の高さがhからに変化する間に、気体がした仕事Wを求めよ。
(4) 気体部分の高さがある高さに達すると、ピストンをさらに上昇させるために必要な熱量が0になり、xXを越えるとピストンは一気に浮上してしまった。Xを求めよ。

解答 U(4)以外は標準的な問題です。U(4)だけ考え込みますが、火山の水蒸気爆発の状況を入試問題化したような問題です。火山の噴火口は、マグマの上昇する通り道に続いてマグマが噴火口にあふれ出すと広がるような構造をしています。雨水がしみこんでマグマ溜まりに触れて水蒸気となり、マグマの熱に熱せられて膨張し、マグマを押し上げると本問のようなことが起こります。

T(1) 液体の密度ρとします。ピストンに働くは、ピストン上部の液体から受ける鉛直下向きの垂直抗力(液体に働く重力に等しい)と、気体の圧力による鉛直上向きのです。この2力のつり合いより、
......[]
(2) 気体を加熱している間、ピストンに働くのつりあいに関する状況は変化せず、気体の変化は定圧変化です。この間、気体がした仕事は、
......[]
(3) 気体のモル数をn気体定数Rとして、はじめの気体の状態方程式
 ・・・@
気体の高さhになったとき、気体の温度として、気体の状態方程式
 ・・・A
A÷@より、
この間の
内部エネルギーの変化は、
 ( @)
熱力学第1法則より、気体が吸収したは、
......[]
別解.単原子分子理想気体なので定圧モル比熱です。定圧モル比熱の式を用いて、
としてもOKです。
U 気体部分の高さhのときの気体の圧力温度は、T(3)より、です。
(1) 断面積の部分での液体の深さとします。この部分にあふれた液体の体積です。
 ∴
ピストンに液体が及ぼす垂直抗力は、ピストン上に位置する液体(深さは、断面積Sの部分が断面積の部分が)に働く重力に等しく、
これと、気体がピストンに及ぼす圧力によるとの力のつり合いより、
T(1)を用いて、気体の圧力Pは、
......[]
(2) 気体の高さとなったときの気体の状態方程式
 ・・・B
B÷Aより、
U
(1)の結果を用いて、
気体の温度Tは、
......[] ・・・C
(3) 気体の圧力からPまで変化します。
気体の体積Vについて、を用いて、U(1)の結果からxを消去すると、
従って、この間の変化のPV図は、右図のように直線的になり、気体の高さhからに変化する間に気体がした仕事Wは、PV図とV軸に挟まれた部分にできる台形(黄色着色部)の面積になります。気体の体積からまで変化するので、より、(1)の結果を用いて、気体がした仕事Wは、
......[]
(4) この間の温度変化は、U(2)の結果を用いて、
内部エネルギーの変化は、
熱力学第1法則より、この間に気体が吸収したQは、
 ・・・D
さて、問題文の「ピストンをさらに上昇させるために必要な熱量0になり、xXを越えるとピストンは一気に浮上してしまった」の意味を考えます。
まず、注意しなければいけないことは、「ピストンを上昇させるために必要な
熱量0になる」と言っているのではないことです。気体にを加えなければ、気体は膨張せず、ピストンが上昇することはありません。
問題文は「さらに上昇させる」ために必要な
熱量について言及しているので、ここでは、上昇距離の変化分熱量の変化分に着目してください。
なのにとなると言っているわけです。
D式は
Qxの関数のように表示されている式ですが、xQの関数であるように捉えるとわかり易いと思います。熱量Qを増加させることにより()気体が膨張してピストンが上昇するわけですが()、「xXを越えるとピストンは一気に浮上してしまった」と言っているのは、ある高さまで上昇すると、急激にxが増加するようになる、と、問題文は言っているわけです。xの変化率が急激に大きくなる、ということは、となる、ということです。これが、なのにになる、ということの意味です。このとき、です。
Dを、
Qxの関数だとしてグラフに描くと、
より、右図のようになります。
において
Q最大で、となるので、
......[]


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