東大物理'11年前期[1]

1のように、長さで質量の無視できる棒によってつながれた、質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。ただしとする。棒は物体Aおよび物体Bに対してなめらかに回転でき、棒が鉛直方向となす角をθ とする。はじめ、物体Aは水平な床の上で鉛直な壁に接していた。一方、物体Bは物体Aの真上()から初速度0で右側へ動き始めた。その後の運動について以下の設問に答えよ。なお、重力加速度の大きさをgとして、物体Aと物体Bの大きさは考えなくてよい。また、棒と物体Aおよび物体Bとの間にはたらく力は棒に平行である。

T まず、物体Aと床との間に摩擦がない場合について考える。
(1) 物体Bが動き出してからしばらくの間は、物体Aは壁に接したままであった。この間の物体Bの速さvを、θ を含んだ式で表せ。
(2) (1)のとき、棒から物体Bにはたらく力Fを、θ を含んだ式で表せ。棒が物体Bを押す向きを正とする。
(3) において、物体Aが壁から離れて床の上をすべり始めた。を求めよ。
(4) における物体Bの運動量の水平成分Pを求めよ。
(5) 物体Bが物体Aの真横()にきたときの、物体Aの速さVを求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。
(6) に達した直後に、物体Bが床と完全弾性衝突した。その後、物体Bが一番高く上がったときであった。を求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。

U 次に、物体Aと床との間に摩擦がある場合について考える。今度は、において、物体Aが壁から離れた。これより、物体Aと床との間の静止摩擦係数μを求めよ。

解答 転倒の問題に見えますが、モーメントを考えるまでもない不等速円運動の問題です。運動量保存力学的エネルギー保存を考えるだけでOK

T(1) 床を位置エネルギーの基準に取ります。のときの物体B位置エネルギーです。このとき、ABも停止していて運動エネルギーはありません。棒が鉛直方向となす角がθ のときのB速さvとして、B運動エネルギーAには運動エネルギーはなく、B位置エネルギーは、力学的エネルギー保存より、
......[]
(2) 棒に沿ってAに向かう方向(物体Bの円運動の向心方向)に物体Bが受けるは、と、重力の鉛直方向成分
物体B運動方程式は、
(1)の結果より、
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(3) 物体Aが壁から受ける右向きの垂直抗力とすると、物体Aに水平方向に働くは、と、棒から受けるFの水平成分です。これらの力のつり合いより、

物体Aが壁から離れるとき(物体Aと床との間に摩擦がないので、垂直抗力がなくなった時点で、物体Aは壁から離れます) ()より、(2)の結果を用いて、
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(4) のとき、物体B速さは、(1)(3)の結果を用いて、
物体B速度と水平方向とのなす角はαで、物体B速度の水平成分は、
物体B運動量の水平成分Pは、
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(5) 物体Aが離れる瞬間のA速度0運動量0です。
物体Bが物体Aの真横に来たとき、物体Aと物体Bはともに速さVで水平方向に動いていて、この方向の運動量保存より、
() ......[]
(6) 物体Bと床との衝突では力学的エネルギーは失われません。最高点では、物体Bと物体Aは同じ速度になり、この速度をとすると、AB合わせて運動エネルギー,物体B位置エネルギーのときと、物体Bと床との衝突後の最高点()のときとの力学的エネルギー保存より、
水平方向の運動量保存より、
 ∴
() ......[]

U 棒が鉛直方向となす角がθ のとき、物体Aが床から受ける垂直抗力を鉛直上向きにとします。物体Aが鉛直方向に受けるは、と、重力,棒から受けるの鉛直成分です。これらの力のつり合いより、

物体Aが壁から離れたあと、物体Aが水平方向に受けるは、棒から受けるの水平成分静止摩擦力で、これらの力のつり合いより、静止摩擦力に等しくなります。物体Aが滑り出す限界で、静止摩擦力最大静止摩擦力になります。
として、
T(2)より、
として、
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