東大物理'10年前期[3]

管の中では気柱の共鳴という現象が起こるが、そのときの振動数を固有振動数と呼ぶ。なお、以下で用いる管は細いので、開口端補正は無視する。

T 管の長さをL,空気中の音速をVとして以下の問いに答えよ。
(1) 管の両端が開いているときの固有振動数のうち、小さい方から3番目までの振動数を求めよ。
(2) 管の一端が開いていて、他端が閉じられているときの固有振動数のうち、小さい方から3番目までの振動数を求めよ。

U 長さの透明で細長い管の左端に膜をはり、この膜を外部からの電流によって微小に振動させ、管の中に任意の振動数の音波を発生できるようにした。管は水平に置かれ、内部には細かなコルクの粉が少量まかれていて、空気の振動の様子が見えるようになっている。管の右端をふたで閉じて、音波の振動数をゆっくり変化させた。振動数をからまで変化させたとき、で共鳴が起こり、空気の振動の腹と節がコルクの粉の分布ではっきりと見えた。なお、他の振動数では共鳴は起こっていない。
(1) での共鳴のときの空気の振動の節の位置を管の右端からの距離で答えよ。
(2) この条件を用いて、音速Vを求めよ。

V 次に、Uで行った実験では閉じられていた右端を開いて、振動数をからまで変化させた。今度は振動数がで共鳴が起こり、管は大きな音で鳴った。ここで、である。を求めよ。

W この装置を自転車に載せてサッカー場に行った。固有振動数の音を出しながら、図3に示すように、サイドライン上をA点からC点に向かって一定の速さvで走る。C点にはマイクロフォンと増幅器とスピーカーがあり、マイクロフォンでとらえた音を増幅してスピーカーで鳴らす。三角形BCDが正三角形になるように、サイドライン上にB点とD点を設定する。D点で装置からの音とスピーカーからの音を聞く。風の影響は無視して以下の問いに答えよ。
(1) 2つの音源からの音は、干渉によりうなりを生じる。B点からの音とスピーカーからの音が干渉して生じるうなりの振動数を、音速V,自転車の速さv,振動数を用いて表せ。
(2) 自転車がB点を通過するときのうなりの振動数はであった。この値を用いて自転車の速さを有効数字1桁で求めよ。なお、音速の値はUで求めたものを用いよ。

解答 Uで、の差は、開管なら基本振動の振動数になり、一端閉管なら基本振動の2倍の振動数になるはずです。ですが、開管でもないし、一端閉管では基本振動の偶数倍の振動数になってしまうし、と、思うかも知れません。ここは、両端とも閉じられているので、両端とも固定端の弦のような振動になります。

T(1) 開管の振動の様子は、縦波を横波に直して描くと、右図のようになります。開いている両端は、空気が自由に振動できるので、振動の腹になります。腹と腹の間に節が1つできるのが基本振動です。腹と腹の間に、節が2つできてその間に腹が1つできるのが2倍振動、節が3つ腹が2つできるのが3倍振動です。
基本振動の波長は、で、振動数は、 (波の公式を参照)
2
倍振動の波長は、で、振動数は、
3倍振動の波長は、で、振動数は、
小さい方から
3番目までの振動数は、 ......[]
(2) 一端閉管の振動の様子は、縦波を横波に直して描くと、右図のようになります。開いている側は、空気が自由に振動できるので振動の腹になりますが、閉じている側は、空気が振動できないので振動の節になります。開いている側が腹で、閉じられている側が節になり、その間に、腹も節もないのが基本振動、腹と節が1つずつあるのが3倍振動、腹と節が2つずつあるのが5倍振動になります。偶数倍の倍振動はできません。
基本振動の波長は、で、振動数は、
3倍振動の波長は、で、振動数は、
5倍振動の波長は、で、振動数は、
小さい方から
3番目までの振動数は、 ......[]

U 管の右端はふたで閉じられているので自由に振動することはできず固定端になります。問題は膜がはられている左端ですが、微小な振動を与えるだけで自由に振動できるわけではないので、こちらも固定端になります。つまり、管内の振動の様子は、縦波を横波に直して描くと、右図のようになります。
基本振動の波長は、で、振動数は、
管内には整数倍の倍振動が現れます。
(1) 振動数からまで変化させたとき、で共鳴が起こり他の振動数では共鳴は起こらないので、kを自然数として、k倍振動であれば、倍振動になります。
差をとると、
 ・・・@
従って、基本振動の振動数173Hzで、で共鳴するとき、右図のように管内には4倍振動が起きています。右端は節で、の管内にごとに節が生じ、節の位置は右端から、 ......[]
注.2倍振動は5倍振動はなので、からまでの間では、共鳴する振動数は、だけです。
(2) 音速Vは、@より、
......[]

V 右端を開いたので一端閉管となり、T(2)の結果より、基本振動の振動数fは、になります。この基本振動の奇数倍の振動数が可能なので、kを自然数として、管内に現れる振動の振動数は、
を満たします。
よって、

......[]

W(1) ドップラー効果の公式より、Cで聞く振動数は、
自転車の速度方向成分はです。Dで聞く振動数は、
より、うなりの振動数は、
......[]
(2) (1)の結果を用いてとしてvに関する2次方程式を解こうとすると面倒なことになります。vを有効数字1桁で求めればよいので、として、先に近似してしまうことにします。(1)の結果の分母・分子をで割り、
 (2次以上の項を無視する)
とすると、
有効数字1桁で自転車の速さは、 ......[]


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