東大物理'10年前期[2]

2のように、水平面上に2本の導体レールを間隔lで平行に置き、磁束密度の大きさがBである一様な磁場を鉛直下向きに加えた。導体レールの上には、長さl,抵抗値Rの棒を導体レールと直角をなすように乗せた。導体レールには、図に示したように、4つの抵抗1234と、起電力Vの電池、スイッチをつないだ。抵抗123の抵抗値はRであり、抵抗4の抵抗値はである。自己誘導、導体レールと導線の抵抗、電池の内部抵抗は無視できる。

T 棒が導体レールに固定されているとき、以下の問いに答えよ。
(1) 最初、スイッチは開いている。このとき、棒に流れる電流の大きさを求めよ。
(2) 次にスイッチを閉じた。このとき、棒に流れる電流の大きさを求めよ。
(3) (2)のとき、棒に流れる電流が磁場から受ける力の大きさを求めよ。また、その向きは図中()()のどちらか。

U 次にスイッチを閉じたまま、導体レールの上を棒が自由に動けるようにしたところ、棒は導体レールの上を動き始めた。以下の問いに答えよ。ただし、導体レールは十分に長く、棒はレールから外れたり落ちたりすることはない。また、棒が受ける空気抵抗、導体レールと棒の間の摩擦は無視できる。
(1) 棒の速さがになったとき、抵抗3に流れる電流が0になった。を求めよ。
(2) 十分に時間がたつと、棒は速さで等速運動をしていた。を求めよ。

解答 電磁気の基本問題ですが、本年の理系の合否を左右したのではないかという気がします。東大物理としては意表を突くようなテーマですが、過去問に出てこないテーマこそ出題可能性が高いのです。過去問しかやらないという方針の受験生には痛烈な警告となるでしょう。

T(1) 問題文の状況を整理すると、スイッチが開いているとき、右図の回路と等価です。
抵抗1と棒の抵抗直列合成抵抗は、
です。ここに電流が流れるので、オームの法則より、
......[]
(2) スイッチが閉じているとき、右図の回路と等価です。このときに抵抗1に流れる電流とします。棒に流れる電流なので、抵抗3に流れる電流 (右図で右向きとして)です。抵抗2に流れる電流とすると、抵抗4に流れる電流 (右図で下向きとして)です。
キルヒホッフ第2法則より、右図ループ1について、
 ・・・@
ループ2について、
 ・・・A
ループ3について、
 ・・・B
@+A×4より、
 ・・・C
3−B

Cに代入し、
......[] (電流の向きは、右図で左向き、図2では向こうからこちら向きです)
(3) 棒が磁場から受けるは、
......[]
フレミング左手の法則より、左手人差し指が磁場の向き、中指が電流の向き(向こうからこちら向き)の向きは親指の向きとして、() ......[]

U 棒の速さ(運動方向は()の向き)vのとき、棒には、大きさ誘導起電力が生じます。フレミング右手の法則より、右手人差し指が磁場の向き、親指が運動の向き、起電力の向きは中指方向に電流を流そうとする向きで、図2でこちらから向こう向き(右図では下から上に電流を流そうとする向き)です。このときの状況は、右の回路と等価です。
抵抗1,棒,抵抗2に流れる電流として、
キルヒホッフ第2法則より、右図ループ1,ループ2については、@,Aと変わりはなく、
 ・・・@
 ・・・A
ループ3については、
 ・・・D
@+A×3より、
 ・・・C
3−D

Cに代入すると、
 ・・・E
抵抗3に流れる電流は、
 ・・・F
(1) のとき抵抗3に流れる電流0になるので、Fにおいてとして、
......[]
(2) 棒が等速運動する、ということは、棒に磁場が及ぼす0で、棒を流れる電流0,ということです。Eにおいてとして、
......[]


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