東大物理'09年前期[1]

11のように、鉛直に固定した透明な管がある。ばね定数kのばねの下端を管の底面に固定し、上端を質量mの物体1に接続する。質量が同じくmの物体2を、物体1の上に固定せずに乗せる。地面上の一点Oを原点として鉛直上向きにx軸をとる。ばねが自然長になっているときの物体1x座標はhであり、重力加速度の大きさはgである。
なお、物体の大きさは小さく、管との摩擦や空気抵抗は無視でき、
x方向以外の運動は考えない。ばねの質量は無視できる。また、管は十分長く、実験中に物体が飛び出すことはないものとする。
T 物体1と物体2を、互いに接した状態で、物体1x座標がとなる位置まで押し下げ、時刻に初速度0で放したところ、物体1と物体2は互いに接した状態で単振動を開始した。
(1) この時の、物体1の単振動の中心のx座標を答えよ。
(2) 物体1と物体2x方向の運動方程式をそれぞれ書け。各物体の加速度を,物体1の位置をx,互いに及ぼす抗力の大きさをN ()とせよ。
(3) の値によっては、運動中に物体1と物体2が分離することがある。図12はこのような場合の物体の位置の時間変化を示す。運動方程式を使って、分離の瞬間の物体1x座標を求めよ。なお、図12では物体の大きさは無視されており、接している間の物体1と物体2の位置を1本の実線で表している。
(4) 分離の瞬間の物体1の速度を答えよ。また、分離が起きるのは、時刻における物体1の位置がどのような条件を満たす場合か答えよ。
U 物体1と物体2が分離した後の運動について考える。分離後、物体1は単独で単振動する。物体2は重力のために、分離後ある時間が経過した後に必ず物体1に衝突する。分離から衝突までの時間は時刻における物体1の位置に依存する。ここで、分離から衝突までの時間が、物体1が単独で単振動する際の周期Tに等しくなるように、の値を設定した。衝突の時刻をとする。
(1) 物体1が単独で単振動する際の周期Tを答えよ。また、物体1と物体2が衝突する瞬間(時刻)の物体1x座標を答えよ。
(2) 分離の瞬間の物体2の速度をVとする。分離から衝突までの時間がTとなるためのVの満たす式を書け。
(3) 物体1と物体2の間のはねかえり係数は1であるとし、時刻における衝突以降の運動を考える。物体1と物体2が、以降に再び接触する時刻と、そのときの物体1x座標を答えよ。また、時刻からまでの間で、横軸を時刻、縦軸を物体の位置とするグラフの概形を描け。物体の大きさは無視し、物体1と物体2が接した状態で運動している部分は実線、分離している部分は点線を用いよ。なお、横軸、縦軸ともに、値や式を記入する必要はない。
(4) この場合のhmkgを用いて表せ。

解答 オーソドックスな単振動の問題です。過去にも類似の問題が何度も出題されています。

T(1) 単振動の振動中心は、力のつり合いが成立する位置です。
物体1+物体2に働くは、下向きの重力と上向きの弾性力 (ばねの縮みは)です。2力の力のつり合いより、
......[]
(2) 物体1に働くは、下向きの重力,上向きの弾性力,物体2から受ける下向きの垂直抗力Nで、物体2に働くは、下向きの重力,物体1から受ける上向きの垂直抗力Nです。
物体1運動方程式 ・・・@
物体
2運動方程式 ・・・A
(3) 物体1と物体2が離れるのは垂直抗力Nになるときです。Nを求めるために、@,Aにおいて、として加速度を消去すると、

のとき、 ......[]
(4) 分離する瞬間の物体1速度vとします(物体2速度vです)。最下点を重力の位置エネルギーの基準にとると、最下点にあるときの物体1+物体2エネルギーは、弾性エネルギーのみです。分離するときの物体1+物体2エネルギーは、弾性エネルギー0で、重力の位置エネルギー運動エネルギーです。
最下点と分離する位置とでの力学的エネルギー保存より、
......[]
「分離が起きる」ということを、分離が起きる位置まで運動が継続されていた、と考えます。つまり、分離する位置での運動エネルギーとして考えます。

......[]

U(1) 分離後の物体1運動方程式は、物体1座標x加速度aとして、
これは、角振動数単振動を表します。周期Tは、
......[]
分離から衝突までの時間が単振動の周期に等しいので、分離するときと衝突するときとで、物体1x座標速度は等しくなります。
よって、衝突する瞬間の物体
1x座標は、 ......[]
(2) 分離する位置と衝突する位置が等しく、物体2の運動は鉛直上方投射なので、衝突するときの物体2速度です。等加速度運動の公式より、
 ∴ ......[]
(3) 同じ質量の物体同士の完全弾性衝突なので、速度が交換されて、衝突直後に、物体1速度,物体2速度Vになります。物体1も物体2も衝突後、時間Tをかけて元の位置に戻ってきます。従って、2物体が再び接触する時刻は、
......[]
落下してきた物体2速度(2)と同じくです。物体1速度時刻の衝突直後と同じくです。つまり、時刻において物体1と物体2とは同じ速度になって接触するため、2物体はここで合体し、以後一体となって運動(単振動)を始めます。この状況を表すグラフは右図。
(4) T(4),U(2)の結果を使って、より、
2乗して整理すると、

より複号はプラスをとります。
......[]


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