東大物理'08年前期[1]

質量mの箱が摩擦のない滑らかな水平面上に静止していたとする。この箱を、時刻0から移動させ始めてちょうど時刻Tに距離Lだけ離れた地点を通過させることを考えよう。ABC3人がそれぞれ別々の力の加え方をして箱を移動させた。Aの箱は最初から最後まで一定の加速度で運動した。Bの箱は距離の中間地点まで一定の加速度で加速し、中間地点以降はその時の速度で等速度運動をした。Cはばねを用いて移動させた。図1のように、ばねが自然長の状態で箱がゴール地点にあるようにセットし、そこからばねを長さLだけ縮めて初速0で離した。ABC全ての場合において、箱は時刻0で静止した状態から動き始め、一直線上を同じ向きに進み、時刻Tにスタート地点から同じ距離Lだけ離れた地点を通過した。

T Cが用いたばねのばね定数kmTを用いて表せ。

U A,BCそれぞれの場合について、箱の速さを時刻t ()の関数としてグラフにし、各々の場合の時刻Tにおける速さTLを用いて表せ。

V ABCそれぞれの場合について、時刻Tまでに箱にした仕事をmTLを用いて表し、どの場合最も仕事が少なかったか答えよ。またそれぞれの場合について、箱にした仕事とUで求めた速さとの関係を求めよ。

W 箱を静止した状態から動かし始め、最小の仕事でちょうど時刻Tに距離Lだけ離れたところを通過させるための力の加え方を求めたい。ただし、箱に加えることのできる最大の力をとし、ABCの加えたどの力よりも大きいとする。また運動の向きと逆向きの力を加えることはないとする。箱にする仕事が最小の場合について、箱に加えた力の時間変化をグラフにし、時刻Tまでに箱にした仕事を答えよ。

解答 簡単ですが、やることは多いので忙しい問題です。意地悪な問題文に眩惑されないように注意してください。Uでは、変位・速度・加速度を参照してください。
でも、急発進を奨励しているような問題で、交通安全上は問題では?


T ばねをL縮めたときのばねの位置エネルギー,箱がゴール地点にあるときの箱の速さvとして、箱の運動エネルギー
系のエネルギーを奪うような外力は存在せず、力学的エネルギーが保存されるので、

 ・・・@
ばねが行う単振動振幅L (自然長の位置は単振動の振動中心です)で、ばねの角振動数wとして、単振動の公式より、
@と比べて、
単振動の
周期で、単振動の公式より、

......[]

U Aについて、
加速度aとして、等加速度運動の公式より、

時刻tにおける速さは、
グラフは右図。
おける
速さは、
......[]
Bについて、
に中間地点に至るとして、における加速度aは、

における速さは、
においては、この速さで等速度運動で距離進むので、

における速さは、
における
速さは、
グラフは右図。
における
速さは、
......[]
Cについて
に振動端にいて、に振動中心にくるので、箱の位置xは、


グラフは右図。
における
速さは、
......[]

V ABC3人が加える以外に、エネルギーを奪う外力が存在しないので、時刻Tまでに箱にした仕事は全て、運動エネルギーとなります。従って、3つの場合のいずれにおいても、箱にした仕事Wは、
......[]
Aについて、
Bについて、
Cについて、
より、最も
仕事が少なかったのは、B ......[]

W Vより、最初に最大の一気に加速して、あとは等速度運動で進む、というのが、最小の仕事で一定の時間Tの間に距離L進む、の加え方です。
最大のをかけているとき、加速度として、
運動方程式
の間、最大のをかけるとして、における位置速さは、
において、速さで等速度運動して進む距離は、

整理して、

なので、複号はマイナスの方を取り、
従って、仕事が最小の場合のの加え方は、
において、
において、
グラフは右図。

時刻tまでにした仕事Wは、
......[]


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