東大物理'07年前期[1]

 バイオリンの弦は弓でこすることにより振動する。弓を当てる力や動かす速さの影響を、図11に示すモデルで考えてみよう。長さLの軽い糸を張力Fで水平に張り、糸の中央に質量mの箱を取り付ける。箱は、糸が水平の状態で水平面と接しており、糸の両端を結ぶ線分の垂直二等分線上をなめらかに動くことができる。図11(b)のように、糸の両端を結ぶ線分の中点(太矢印の始点)を箱の変位xの原点とし、太矢印の向きを変位および力の正の向きとする。箱の変位は糸の長さに比べて十分小さく、糸の張力は一定と見なすことができる。図11(c)のように、箱の上には正の向きに一定の速さVで動いているベルトがあり、箱に接触させることができるようになっている。ベルトから見た箱の速度をベルトと箱の相対速度と定義する。ベルトと箱が接触している状態で相対速度が0のとき、ベルトから箱に静止摩擦力が働く。静止摩擦係数をmとする。ベルトから箱に働く動摩擦力および糸と箱に働く空気抵抗を無視する。

T ベルトと箱が接触していないときの箱の運動を考える。図11(b)のように、糸の両端を結ぶ線分と糸がなす角をq [rad]とする。必要があれば、1に比べて十分に小さいときに成り立つ近似式を用いてよい。
(1) 糸から箱に働く復元力の大きさをFq を用いて表せ。また、この復元力の大きさをLFxを用いて表せ。
(2) 箱に初期変位か初期速度を与えると、箱は単振動をする。単振動の周期TLFmを用いて表せ。

U 箱が単振動をしているとき、ベルトを一定の垂直抗力Nで箱に接触させたところ、ベルトと箱がくっついている状態と滑っている状態が交互に現れた。箱の変位x0,箱の速度がV (すなわち、ベルトと箱の相対速度が0)となる瞬間があり、この瞬間を時間の原点とする。で、箱の変位xは図12に示すように周期的に変化する(2周期分を示している)OPは直線、PQは正弦曲線の一部、QRは直線、OPQRのくり返しである。また、直線OPは点Pで正弦曲線と接している。点Oから点Rまで箱の1周期の運動に要する時間をとする。
(1) の範囲で、(a)箱の速度、(b)ベルトと箱の相対速度、(c)糸から箱に働く復元力、(d)ベルトから箱に働く静止摩擦力、を表す図を、図13()()からそれぞれ選べ。
(2) 箱がベルトに対して滑り始める点Pでの箱の変位sLFmNを用いて表せ。
(3) PQ間では、箱は問T(2)で考えた単振動と同じ運動をする。箱の最大変位ALFmVmNを用いて表せ。
(4) ベルトから箱に働く垂直抗力Nを大きくすると、箱の最大変位Aと箱の1周期の運動に要する時間は、それぞれ、大きくなるか、小さくなるか、変わらないか、を理由とともに答えよ。理由の説明に図を用いてよい。

解答 ベルトとの摩擦がある系における単振動は、‘94年前期[1]でも採り上げられていますが、今回の問題の方が、やや頭を悩ませる部分があります。式を立ててきちんとやっていくと時間が足りなくなります。U(1)は、グラフを選べば良いだけで、説明も求められていません。出題意図をよくつかんで解答しましょう。

T(1) 右図に示すように、箱に働く復元力は、箱の変位の大きさを小さくする向きに、大きさ、 ......[]
より、
......[]

(2) (1)より、箱の加速度aとして、箱の運動方程式は、

これは、角振動数単振動を表します。
単振動の
周期Tは、 ......[]

U(1)(a) 箱の速度OPでは、ベルトにくっついて動くのでベルトと同じ速度Vで一定です。PQでは、単振動するので、速度時間のグラフも正弦曲線になり、Pの時点の速度Vからだんだんベルトに対して遅くなり、単振動の振動端から逆の振動端まで動いた後に、だんだん速くなって、Qの時点でベルトに追いつき、ベルトとの間が静止摩擦となり、再びベルトとともに速度Vで動くようになります。この状況を表すグラフは、() ......[]

(b) ベルトと箱の相対速度:箱の速度からベルトの速度Vを引いたものが相対速度なので、(a)のグラフをx(縦軸)負方向にVだけ平行移動したグラフになります。このグラフは、() ......[]

(c) 復元力:T(1)より、復元力は、と表せます。OPにおいては、箱は、より出発して一定速度Vで動くので、,つまり、復元力は、となり、原点を出発する傾き負の直線です。PQでは、単振動するので、x時間のグラフと同様に、復元力時間のグラフも正弦曲線になります。この状況を表すグラフは、() ......[]

(d) 静止摩擦力OPでは、ベルトと箱の間が滑らず動かないので、ベルトと箱の間の摩擦力静止摩擦力です。静止摩擦力fとして、箱に働くの、糸に垂直な方向の力のつり合いより、

これは、原点を出発する傾き正の直線です。
PQにおいては、ベルトと箱の間は滑っているので、静止摩擦力0です。この状況を表すグラフは、() ......[]

(2) 滑りだす限界における静止摩擦力の大きさはです。このとき、,箱に働くの、糸に垂直な方向の力のつり合いより、
......[]

(3) PQにおいては、動摩擦力を無視するので、力学的エネルギー保存則が成立します(実は、動摩擦力があっても一定で、しかも一方向にのみ動いているときには、力学的エネルギー保存則が成立します。'94年前期[1]はそういう状況の問題でした)
復元力を、バネによる復元力とみなすと、バネ定数は、
Pの時点()では、箱の位置エネルギーは、運動エネルギーは、
振動端
(最大変位、つまり、単振動の振幅Aより、)においては、運動エネルギー0で、箱の位置エネルギーは、
よって、力学的エネルギー保存より

(2)の結果を代入して、
......[]
(4) N→大のとき、(3)の結果より、A→大 ......[]
右図にNが小さく、単振動の振幅も小さい場合と、Nが大きく、単振動の振幅も大きい場合の変位時間のグラフを示しました。
箱がベルトにくっついて動くとき、箱は
一定速度Vで動くので、グラフは傾きVの直線(右図の赤線)になります。
箱がベルトに対して滑り出すとき、箱の
速度Vから急激に変化するのではなく、連続的に変化します。このことは、グラフでは、傾きVの直線(赤線)の部分と正弦曲線になる部分とがなめらかにつながることを意味します。つまり、傾きVの直線は正弦曲線の接線になっています。右図より、振幅の大きい場合(周期)O→振動端の時間は、振幅が小さい場合(周期)→振動端の時間よりも大きく、T(2)より単振動の周期は両者で変わらないので、です。つまり、N→大のとき、箱の運動の周期→大 ......[]


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