東大物理'06年前期[1]

太陽系以外で、恒星の周りを公転する惑星が初めて発見されたのは1995年である。以来、すでに150個以上の太陽系外惑星が発見されている。この太陽系外惑星の検出原理は、質量Mの恒星と質量mの惑星()が、互いの万有引力だけによってそれぞれ運動している場合を考えれば理解できる。この場合、惑星は一般には楕円軌道上を運動することが知られている。しかしここでは図1に示すように、惑星がある定点Cを中心とした半径aの円周上を等速円運動しているとする(だたし、図1には恒星を図示していないことに注意)。万有引力定数をGとし、恒星および惑星の大きさは無視する。
T 図1のように、惑星が反時計回りに公転しているものとする。惑星に働く向心力は恒星による万有引力であることを考えて、以下の問に答えよ。
(1) 恒星、惑星、点Cの互いの位置関係を理由とともに述べよ。
(2) 恒星と点Cとの距離、惑星の速さv,恒星の速さVを求めよ。
(3) 惑星の公転軌道面上において、aに比べて充分に遠方にあり、点Cに対して静止している観測者を考える。図1のように惑星が角度q [rad]の位置にあるとき、惑星の速度の視線方向成分を、vq を用いて表せ。ただし、観測者に対して遠ざかる向きをの正の向きに選ぶものとする。
(4) 時刻において、惑星がの位置にあったとする。また、惑星の公転周期をT,恒星の速度の視線方向成分をとする。tの関数として、その概形をの範囲でグラフに描け。ただし、観測者に対して遠ざかる向きをの正の向きに選ぶものとする。
U 惑星からの光は弱すぎて観測することは困難である。しかし、恒星からの光を観測することによって、惑星の存在を知ることができる。この間接的な惑星検出の方法では、運動する恒星が発する光の波長は、音源が動いた場合の音の波長と同様に、ドップラー効果によって変化することを利用する。ここでは、恒星が静止している場合には波長の光を発するものとして以下の問に答えよ。
(1) 惑星が角度q の位置にあるときに恒星が発する光を観測者が測定したところ、波長はlであった。光速度をcとして、波長の変化量q の関数として求めよ。
(2) II(1)で求めたは時間変動する。の範囲での最大値が以上であれば、現在の観測技術での時間変動を検出することができる。このことから、惑星の存在を知ることが可能であるためにaが満たすべき条件式を求めよ。
(3) II(2)において、恒星が太陽質量kg,惑星が木星程度の質量をもつものとする。この惑星が検出可能であるために公転周期Tが満たすべき条件を、有効数字1桁で表せ。ただし、m/sとする。

解答 天文学の最前線の話題を問題にしている点では興味深い問題ですが、T(1)は、もともと高校の範囲では解答不能な問題を無理に入試問題に焼き直しているために、問題文が不適切であるように思います。受験生としては、高校の範囲として勉強してきた条件下で考え、以下のような詳細な検討を省略して直観的に解答してよいと思われます。

T(1) Cから見たときの、惑星、恒星の加速度ab とし、恒星の位置Pから惑星の位置Qまでの距離rとします(問題文にあるように、恒星は点Cに位置するのではなく、恒星と惑星の距離aではないことに注意)。恒星と惑星の間には、大きさ万有引力が働きます。
惑星に働く方向に働くので、方向での惑星の運動方程式は、
 ・・・@
恒星に働く方向に働くので、方向での恒星の運動方程式は、
 ・・・A
@+Aより、 (これは、系に外力が働いておらず運動量の変化が0で、運動量が保存されることを意味します)
これより、惑星と恒星の重心R位置を時間t2回微分すると、
よって、惑星と恒星の重心Rは、等速直線運動を行うか静止することになります(等加速度運動を参照)

Cから見て、惑星と恒星の重心R等速直線運動をすると、いずれは、RCからどんどん離れていくことになるので、惑星の運動がCを中心とする等速円運動になり得ません。従って、重心RCから見て静止しています。

×@−×Aを作ると、
両辺をで割り、をかけると、
 ・・・B
は、恒星Pから見た惑星の相対加速度を表します(相対運動を参照)が、B式は、恒星Pから見たときに、質量の惑星が大きさ万有引力を受けて運動する形をしているので、恒星Pから見て、惑星はPを焦点とする楕円軌道を描きながら運動します。

惑星
Qは、Cを中心とする半径aの円周上に位置するので、です。また、より、,よって、

は定ベクトルなので、は定点であり、これは、を中心とする半径の円を表します。恒星も円運動しています。重心Rは、両円の中心を結ぶ線分Mmに内分する点です。

惑星の運動は
等速円運動ですが、このためには、惑星は一定の大きさの向心力を受けることになります。ということは、@式のは一定値であって、恒星と惑星の距離rは一定です。より、
これが一定であるためには、より、Cと重心Rが一致し、 ・・・C,つまり、点Cが線分PQmMに内分する点でなければなりません。

以上より、
惑星と恒星、定点
Cの位置関係:恒星と惑星と点Cは一直線上にあって、恒星と惑星を結ぶ線分をmMに内分する点(両者の重心)が点Cとなる。 ......[]
理由:惑星と恒星を合わせた系に外力が働かず、運動量が変化しない。また、惑星は等速円運動するので系の運動量の和はゼロ。よって、Cから見て、恒星と惑星の重心は移動せず、惑星に一定の万有引力が働くことから、重心は定点Cに一致する。......[]

(2) 恒星と定点Cとの距離は、(1)の結果とCより、 ......[]
半径a等速円運動向心加速度で、惑星の運動方程式は、

......[]
恒星の向心加速度で、恒星の運動方程式は、

......[]
(惑星と恒星の運動量の和が0,つまり、であることからも求められます)
(3) 充分遠方の観測者とCを結ぶ直線を結ぶ直線(視線方向)と、惑星の速度ベクトルとのなす角はであって、惑星の速度の視線方向成分は、右図より、 ......[]
(4) (1)より、恒星の速度は、惑星の速度の向きとちょうど逆の向きで、恒星の速度の視線方向成分は、と符号が正反対になり、
と書けるので、
tに対して図示すると、右図。

U(1) 波長lの光の振動数です。光源の近づく方向の速度成分は、なので、ドップラー効果の公式より、


......[]

(2) の最大値:について、
......[]

(3)
(2)の結果より、



[s] ......[]


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