東大物理'05前期[1]

 図1のように、地球の中心Oを通り、地表のある地点Aと地点Bとを結ぶ細長いトンネル内における小球の直線運動を考える。地球を半径R,一様な密度rの球とみなし、万有引力定数をGとして以下の各問に答えよ。なお、地球の中心Oから距離rの位置において小球が地球から受ける力は、中心Oから距離r以内にある地球の部分の質量が中心Oに集まったと仮定した場合に、小球が受ける万有引力に等しい。ただし、地球の自転と公転の影響、トンネルと小球の間の摩擦および空気抵抗は無視するものとし、地球の質量は小球の質量に比べ十分大きいものとする。

T 質量mの小球を地点Aから静かにはなしたときの運動を考える。
(1) 小球が地球の中心Oから距離r ()の位置にある時、小球に働く力の大きさを求めよ。
(2) 小球が運動開始後、はじめて地点Aに戻ってくるまでの時間Tを求めよ。

U 同じ質量mを持つ二つの小球PQの運動を考える。時刻0に小球Pを、時刻に小球Qを同一の地点Aで静かにはなしたところ、二つの小球はOBの中点Cで衝突した。ここで二つの小球間のはねかえり係数を0とし、衝突後二つの小球は一体となって運動するものとする。ただし、は問T(2)で求めた時間Tよりも小さいものとする。
(1) Tを用いて表せ。
(2) 二つの小球PQが衝突してからはじめて中心Oを通過するまでの時間をTを用いて表せ。

V 問Uと同様に、時刻0に小球Pを、時刻に小球Qを同一の地点Aで静かにはなした。ただし、二つの小球間のはねかえり係数はe ()とする。
(1) 二つの小球が最初に衝突した後、小球Pは地点Bに向かって運動し、地球の中心Oから距離dの点Dにおいて中心Oに向かって折り返した。このときのdの値をはねかえり係数eおよび地球の半径Rを用いて表せ。
(2) 小球Pと小球Qが二回目に衝突する位置を求めよ。
(3) その後二つの小球は衝突を繰り返した。十分時間が経過した後、どのような運動になるか答えよ。

解答 地球の中心を通るトンネルを掘ったとして、このトンネル内で物体がどういう運動をするかという問題です。'04年に愛媛大学でも同様の問題が出題されています。

T(1) 半径rの球の体積(この問題でも球の体積の公式は与えられていないので覚えておく必要があります),この部分の質量
万有引力の公式より、求める力の大きさは、
......[]

(2) Oを原点とし、OA方向をx軸正方向とする座標を考えます。
小球の座標x ()だとして、小球にはつねに中心Oに向かうが働くので、のときはx軸負方向に、のときはx軸正方向に、が働きます。(1)の結果でとし、小球に働くは方向も入れてと表せます。
小球の
運動方程式は、 ・・・@
これは、バネ定数をとする、
バネ振り子の運動方程式と同型です。
従って、小球は、
角振動数単振動を行います。
A点を離れてA点に戻るまでの時間Tは、単振動の一周期に相当します。よって、
......[]

U(1) 小球P時刻0A()にいたので、時刻tにおけるP座標と表せます。
小球Q時刻A点にいたので、時刻tにおけるQ座標と表せます(Qが運動開始してからの時間です)
C()で両者が衝突するとき、両者の座標は等しく、
 ∴  ∴ ・・・A
また、 ∴
・・・B
A,B,より、
.......[]
三角関数を持ち出すのも遠回りです。高校の範囲では単振動等速円運動している物体の正射影の運動ととらえます。原点を中心とする半径Rの円の周りをPQが等速円運動すると考えると、点を出発して、Pが点,またはに達するまでに円を周,または周回ります。Qが遅れてを出発して、逆回りに回ってPと出会うとすると、Qの方が進み方が小さいので、出会うまでに、P周,Q周まわればよいことになります。これで、Pが出発してからQが出発するまでの時間となります。円を描いて考えればほぼ直感的に明らかです。

(2) PQ速度は、
より、衝突時の両者の速度は、として、
これを ()とおくと、
合体後の速度をとして、運動量保存より、
 ∴
合体後の速度が0ということは、衝突地点C点は合体後の単振動の振動端だということです。合体後振動端から振動中心Oまでに要する時間は周期のです。
合体後の運動方程式は、@においてとしたもので、角振動数、
周期は合体前と変わりません。よって、求める時間は、 ......[]
結局この問題を解くのには、衝突前の速度が等大逆向きで運動量の和が0であることしか使いません。これだけなら直感的に明らかなので、いきなり直感的に解答を求めることもできるでしょう。ただし、説明をどうするかという課題は残ります。

V(1) 衝突後のPQ速度とします。
衝突前後の運動量保存より、
 ∴
反発係数の式:
 ∴

ここで、小球の位置エネルギーを考えてみます。
バネ定数
kのバネに物体をつけて、自然長からの伸び縮みxのときの弾性力による位置エネルギーは、で与えられます。
この問題でも、中心
Oからの変位xとして、xをバネの伸びと考えれば、小物体が地球から受けるは、バネに取り付けられた物体がバネから受ける弾性力と同じ形をしています。バネ定数のバネによる弾性エネルギーを考えることにより、座標xの位置にいる、質量mの小球の位置エネルギーを、と考えます。
注意 地球の内側では、距離に対するの依存の仕方が地球外と違うので、地球外での万有引力による位置エネルギーの公式は使えません。

C点におけるP力学的エネルギーは、
運動エネルギーと、
位置エネルギーの和です。
D点におけるP力学的エネルギーは、振動端で運動エネルギー0なので、
位置エネルギーのみです。
C点とD点との力学的エネルギー保存より、

......[]
d
Pの行う単振動振幅です。

(2) 衝突後も両者の運動は単振動です。PQの単振動は、振動中心Oに関して対称な運動になります。
その理由を考えてみます。
Qの衝突直後の運動エネルギーは、P運動エネルギーと同じです。
位置エネルギーPと同じなので、Qの力学的エネルギーはP力学的エネルギーと同じです。ということは、QPと同様に、振幅dの単振動をします。PQとも周期Tです。
衝突後、
Qは、中心Oを通過してに入り、まで行って折り返してきます。
Pは、D点で折り返し、中心Oを通過してに入り、折り返してきたQと衝突します。
C点で衝突した以降の運動は、C点で衝突するまでの両者の運動を、ちょうど時計の針を逆回しにしたような運動になります。
というわけで、
2回目の衝突地点は、C点の中心Oに関する対称点E(OAの中点で、中心からの距離である点)になります。
OAの中点 ......[]

式を立ててもできなくはないですが、煩雑なだけなので、運動の対称性を利用して説明するのがよいでしょう。

(3) 1回目の衝突地点は中心Oと地表の点Bの中点Cです。2回目の衝突地点は中心Oと地表の点Aの中点Eです。衝突地点は、この後、何度衝突しても変わることはありません。また、バネ定数k質量mは変化しないので、単振動の周期も変化せずTのままです。
衝突するごとに、速さe倍されます。それに伴い運動エネルギー倍となり減少します。しかし、衝突地点が変わらないので、衝突直前直後の位置エネルギーは毎回変わりません。衝突するごとに運動エネルギーだけが減少して、n回衝突後に、最初の倍になっています。十分時間が経過すると、として、となるので、最終的には衝突直前直後の運動エネルギー0になります。これは、単振動の角振動端CEであり、二つの小球が一体となって運動することを意味します。従って、十分に時間が経過すると、PQは、
一体となって
OAOBの中点を振動端とする単振動(振幅は,周期はT)を行う。 ......[]


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