東京大学2005年前期物理入試問題

[1]
 図1のように、地球の中心Oを通り、地表のある地点Aと地点Bとを結ぶ細長いトンネル内における小球の直線運動を考える。地球を半径R,一様な密度rの球とみなし、万有引力定数をGとして以下の各問に答えよ。なお、地球の中心Oから距離rの位置において小球が地球から受ける力は、中心Oから距離r以内にある地球の部分の質量が中心Oに集まったと仮定した場合に、小球が受ける万有引力に等しい。ただし、地球の自転と公転の影響、トンネルと小球の間の摩擦および空気抵抗は無視するものとし、地球の質量は小球の質量に比べ十分大きいものとする。

T 質量mの小球を地点Aから静かにはなしたときの運動を考える。
(1) 小球が地球の中心Oから距離r ()の位置にある時、小球に働く力の大きさを求めよ。
(2) 小球が運動開始後、はじめて地点Aに戻ってくるまでの時間Tを求めよ。

U 同じ質量mを持つ二つの小球PQの運動を考える。時刻0に小球Pを、時刻に小球Qを同一の地点Aで静かにはなしたところ、二つの小球はOBの中点Cで衝突した。ここで二つの小球間のはねかえり係数を0とし、衝突後二つの小球は一体となって運動するものとする。ただし、は問T(2)で求めた時間Tよりも小さいものとする。
(1) Tを用いて表せ。
(2) 二つの小球PQが衝突してからはじめて中心Oを通過するまでの時間をTを用いて表せ。

V 問Uと同様に、時刻0に小球Pを、時刻に小球Qを同一の地点Aで静かにはなした。ただし、二つの小球間のはねかえり係数はe ()とする。
(1) 二つの小球が最初に衝突した後、小球Pは地点Bに向かって運動し、地球の中心Oから距離dの点Dにおいて中心Oに向かって折り返した。このときのdの値をはねかえり係数eおよび地球の半径Rを用いて表せ。
(2) 小球Pと小球Qが二回目に衝突する位置を求めよ。
(3) その後二つの小球は衝突を繰り返した。十分時間が経過した後、どのような運動になるか答えよ。
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[2] 図21のように、ボタン型磁石と薄いアルミニウムの円板を貼り合わせたものを、磁石の磁力を使って鉄釘を介して乾電池の鉄製負電極につるす。乾電池の正極からリード線をのばし、抵抗を介してリード線の他端Pをアルミニウム円板の円周上の点に触れさせると、アルミニウム円板とボタン型磁石は回転を始めた。その後、リード線とアルミニウム円板がすべりながら接触するようにリード線を保持すると、円板と磁石は回転し続けた。ボタン型磁石は、図21のように上面がN極、下面がS極で、電気を通さない。アルミニウム円板の半径をa[m]、乾電池の起電力をV[V]、抵抗の抵抗値をR[W]、アルミニウム円板を貫く磁束密度B[T]は円板面内で一様として、以下の問に答えよ。ただし、リード線とアルミニウム円板の間の摩擦、鉄釘と電池の間の摩擦は無視してよい。また、アルミニウム円板と鉄釘の間の摩擦は十分大きく、これらは一体になって回転するものとする。

T アルミニウム円板とボタン型磁石が回転する方向を、理由を付して答えよ。略図を使ってもよい。ただし、アルミニウム円板を流れる電流は、鉄釘との接合点Qと点Pの間を直接的に流れると考えてよい。

U 図22のように、乾電池のかわりに検流計を置く。アルミニウム円板とボタン型磁石を図22の矢印方向に力を加えて回転させると、検流計に電流が流れた。電流の流れる方向を理由を付して答えよ。

V Uで生じていた起電力E[V]の大きさは、ボタン型磁石の回転の角速度がw[rad/s]のとき、と表せることを示し、係数bを求めよ。ただし、釘は十分細いとしてよい。

W 21において、充分時間が経つとアルミニウム円板とボタン型磁石の角速度はある一定値[rad/s]になる。VBbを用いて表せ。
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[3] レーザー光が原子に与える作用を用いることにより、原子気体を冷却し、なおかつ空間のある領域に保つことができる。そのような冷却原子気体を用いて、原子の波動性を検証する次のような実験を行った。
31のように、鉛直上向きをz軸とする直交座標系を設定する。レーザー光によって冷却原子気体を点のまわりに保つ。この点からLだけ鉛直下方に、原子が当たると蛍光を発するスクリーンを水平(xy面上)に置く。これらはすべて真空中にある。冷却原子気体の空間的広がり、二重スリットの感覚d,および長さaは、Llに比べて十分小さいとする、スクリーンの蛍光のようすは、ビデオカメラによって撮影する。
時刻にレーザー光を切ると、個々の原子はその瞬間に持っていた速度を初速度とし、重力のみを受けた運動を始める。一部の原子は二重スリットを通過し、スクリーンに到着する。時刻以降、原子どうしの衝突はないものとする。二重スリットを通過した原子のうち、
z軸方向の初速度がゼロであったものがスクリーンに到着する時刻をとする、単位時間あたりにスクリーンに到着した原子数の時間変化は図32のようであった。原子の質量をm,プランク常数をh,重力加速度をgとする。

T lLに比べて十分小さく、二重スリットを通過した原子の加速は無視できるものとして、以下の問に答えよ。
(1) 二重スリットを通過した原子のうち、z軸方向の初速度がゼロであったものがスリット通過直後に持っていた速さv,およびド・ブロイ波長lを求めよ。
(2) 時刻にビデオカメラによって撮影された画像には、図33のような干渉縞が写っていた。この干渉縞の間隔を求めよ。ただし、dより十分大きく、lより十分小さいとする。必要ならば、q1より十分小さいときに成り立つ近似式を用いよ。
(3) 時刻の前後にビデオカメラによって撮影された画像にも、図33と同様な干渉縞が写っていた。時刻tに観測された干渉縞の間隔を縦軸、時刻tを横軸として、tの関係を表すグラフの概形を描け。だたし、図32のように時刻の位置を横軸に明示すること。

U Lを固定し、lを変化させて実験を繰り返した。ただし、lの大きさはLと同程度で、二重スリットを通過した後の原子の加速は無視できないものとする。z軸方向の初速度がゼロであった原子がスクリーンに到着する時刻に観測される干渉縞の間隔をとする。lの関係を最も適切に表しているグラフを図34()()の中から一つ選び、その理由を答えよ。
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