東大物理'04年前期[1]
図1-1のように水平に対しての角をなす斜面上に質量Mの直角二等辺三角形の物体Aを斜辺の面が斜面と接するように置く。直角二等辺三角形の等しい2辺の長さをdとする。Aの上面に質量mで大きさの無視できる小さな物体Bを置く。斜面上に原点Oをとり、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとる。はじめ、Aは上面がとなる位置にあり、BはAの上面の右端、すなわち、の位置にある。空気の抵抗および斜面とAの間の摩擦は無視できるものとする。重力加速度をgとする。
T AとBの間の摩擦も無視できる場合に以下の問に答えよ。
(1) 図1-1のようにAの右面に水平左向きに力Fを加えたところ、2つの物体は最初の位置に静止したままであった。Fの大きさを求めよ。
(2) 力Fを取り除いたところ、AとBは運動を開始した。その後、BはA上面の左端に達した。この瞬間のBのy座標を求めよ。
(3) BがA上面の左端に達する直前のBの速さvを求めよ。
U 図1-2に示すようにA上面の点Pを境にして右側の表面が粗く、この部分でのAとBの間の静止摩擦係数および動摩擦係数はそれぞれμ,(ただし、)である。A上面の点Pより左側は、なめらかなままである。問T(1)と同様に、力Fを加えて両物体を静止させた。力Fを取り除いた後の両物体の運動について以下の問に答えよ。 (1) μが十分に大きい場合、BはA上面を滑り出さず、両物体は一体となって斜面を滑りおりる。このときの両物体のx方向の加速度とy方向の加速度を求めよ。 (2) μがある値より大きければBはA上面を滑り出さず、小さければ滑り出す。その値を求めよ。
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解答 簡単な状況設定ですが、しっかり物理的に考察する必要があります。
T(1) 右図のように、A+Bを一体として考えます。静止したままなので、A+Bに働く力のつり合いの式を立てます。
(2) Bに働く力の水平成分は0です。Bの初速度の水平成分も0です。よって、Bは水平方向には動かず、真下に向かって運動します。
A上面の左端に達したときのBのy座標はd ......[答]
(3) A,B間の垂直抗力はAB間のBの運動方向と垂直に働くから仕事をしません。斜面とAの間の垂直抗力も仕事をしません。従って、A+Bについて力学的エネルギー保存則が成立します。
A,Bともに等加速度運動するので、両者の加速度の大きさをA,a,(1)→(2)の時間をとします。 , ∴ ......[答]
U(1) 斜面に沿う方向に働く力は、重力の斜面に沿う方向の成分:です。 A+Bの斜面に沿う方向の加速度をaとして、斜面に沿う方向の運動方程式: ∴ ∴ ......[答]
水平方向:,鉛直方向:
これより、,
滑り出す限界では静止摩擦力は最大静止摩擦力に等しく、より、
∴ ......[答]
(3) →ではBは水平方向にも鉛直方向にも等加速度運動します。 Bの水平方向、鉛直方向の加速度成分をa,bとして、
, これよりを消去して、,このグラフは直線です。
→では、鉛直方向は等加速度運動(加速度の大きさをとします)で水平方向は等速度運動になります。Bがに達する時刻を,におけるBの速度の水平成分、鉛直成分を,,の座標をとして、Bの位置は、 これよりを消去して、
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