東大物理'03年前期[1]

 図1のように、質量の物体Aと質量Mの物体Bが、ばね定数kの質量の無視できるばねによってつながれて、なめらかで水平な床の上に静止していた。また、物体Aはかたい壁に接していた。床の上を左向きに進んできた物体Cが、物体Bに完全弾性衝突して、跳ね返された。右向きを正の向きと定めると、衝突直後の物体Cの速度は (),物体Bの速度は ()であった。その後、物体Bと物体Cが再び衝突することはなかった。
T まず、衝突前から物体Aが壁から離れるまでの運動を考える。
(1) 衝突前の物体Cの速度 ()を用いて表せ。
(2) ばねが最も縮んだときの自然長からの縮みx ()を求めよ。
(3) 衝突してからばねの長さが自然長に戻るまでの時間Tを求めよ。
U ばねの長さが自然長に戻ると、その直後に物体Aが壁から離れた。
(1) やがて、ばねの長さは最大値に達し、そのときの物体Aと物体Bの速度は等しくなった。その速度を求めよ。
(2) ばねの長さが最大値に達したときの自然長からの伸びy ()を求めよ。
(3) その後ばねが縮んで、長さが再び自然長に戻ったとき、物体Aの速度は最大値Vに達した。Vを求めよ。
V 物体Aが壁から離れた後、物体Bと物体Cの間隔は、ばねが伸び縮みを繰り返すたびに広がっていった。このことからわかるの関係を、不等式で表せ。

解答 こうした単振動の問題では、極力、運動方程式を立てずに、エネルギー的考察(エネルギーの原理力学的エネルギー保存則)で考えるようにしましょう。運動方程式に頼るとどうしても微積分が出てきて、遠回りになります。

T(1) 反発係数の式
......[]
(2) 衝突直後のA+B力学的エネルギーは、運動エネルギーのみ。
ばねが最も縮んだとき(ABとも速度0)A+B力学的エネルギーは、弾性エネルギーののみ。
力学的エネルギー保存より、
......[]
(3) 物体Bの運動は単振動で、速さの最大値は振幅 ((2)で求めた最大の縮み振幅になります)
単振動の角振動数w として、公式:より、

求める時間Tは、単振動の半周期で、 ......[]

U ばねが自然長に戻ると、ばねがAに及ぼす0,従って、壁がAに及ぼす0になり、この直後に、Aは壁から離れます。このとき、A速度0B速度 (Cとの衝突直後と等大逆向き)です。
(1) ばねの伸びが最大になるとき、Aから見てBは止まります。ということは、床から見ると、AB速度は同じ速度になります。
外部からABとばねからなる系に働いているはありません。従って、運動量保存則が成立します。Cとの衝突直後、Bだけが運動量を持っていて、ばねの伸びが最大になるとき、AB運動量は、です。
運動量保存より、
......[]

(2) C との衝突後最初にばねが自然長に戻るとき、Bだけが運動エネルギーを持っていて、A運動エネルギーとばねの弾性エネルギー0です。
ばねの長さが最大になったとき、A運動エネルギーは、B運動エネルギーは、,このときのばねの伸びyなので、ばねの弾性エネルギーは、
この系に対して
仕事をしているは存在しないので、力学的エネルギー保存より

......[]

(3) ばねが自然長に戻ったときのB速度vとして、
運動量保存より ・・・@
力学的エネルギー保存より
・・・A
@より、
Aに代入して、

なので、 ......[]

V ABを一体と考えて、重心の速度とする(運動量保存より、重心は等速度運動をします)と、
運動量保存より

C
速度で等速度運動するので、BC間隔が広がってゆくためには、,即ち、
......[]
であればよいことになります。


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