東大物理'02年前期[1]

 長さLの不透明な細いパイプの中に、質量mの小球1と質量の小球2が埋め込まれている。パイプは直線状で曲がらず、その口径、及び小球以外の部分の質量は無視できるほど小さい。また小球は質点とみなしてよいとし、重力加速度をgとする。これらの小球の位置を調べるために次の二つの実験を行った。

T まず、図1-1に示したように、パイプの両端ABを支点abで水平に支え、両方の支点を近づけるような力をゆっくりとかけていったところ、まずbCの位置まで滑って止まり、その直後に今度はaが滑り出してDの位置で止まった。パイプと支点の間の静止摩擦係数、及び動摩擦係数をそれぞれm(ただし)と記すことにして、以下の問に答えよ。
(1) bがCで止まる直前に支点abにかかっているパイプに垂直な方向の力をそれぞれとする。このときのパイプに沿った方向の力のつり合いを表す式を書け。
(2) ACの長さを測定したところであった。パイプの重心が左端Aから図ってlの位置にあるとするとき、重心の周りの力のモーメントのつり合いを考えることにより、lmを用いて表せ。
(3) CDの長さを測定したところであった。摩擦係数の比で表せ。
(4) 上記の測定から重心の位置lを求めることができる。lで表せ。
(5) さらに両方の支点を近づけるプロセスを続けると、どのような現象が起こり、最終的にどのような状態に行き着くか、理由も含めて簡単に述べよ。

U 次に、パイプの端Aに小さな穴を開け、図1-2のようにそこを支点として鉛直に立てた状態から静かにはなし、パイプを回転させた。パイプが回転したときの端Bの速度の大きさを測ったところ、vであった。端Aから図った小球12の位置をそれぞれとして以下の問に答えよ。(支点での摩擦および空気抵抗は無視できるものとする。)
(1) vgLを用いて表せ。
(2) vを実験Tで得られた重心の位置lの値を用いて表したところ、
 
であった。小球の位置lで表せ。ただし、とする。

解答 物差しの上に消しゴムでも置いて、2本のボールペンなどで支えながらボールペンに内向きに力をかけてみてください。この問題の実験を簡単に行うことができます。
おもりはどこに隠されているのか、探索を楽しませてくれる問題でもあります。


T(1) パイプは水平方向に動かず、支点が動く、ということに注意してください。パイプに水平方向に働くは、aから受ける右向きの静止摩擦力bから受ける左向きの動摩擦力です。bがCで止まる直前に、パイプがaから受ける摩擦力は、aが滑り出す直前なので、最大静止摩擦力です。この2力のつり合いより、
......[] ・・・@

(2) bがCで止まる直前に、パイプに鉛直方向に働くは、aから受ける垂直抗力bから受ける垂直抗力です。重心Cとの距離です。
重心の周りの力のモーメントのつり合いより、
・・・A
@,Aより、
......[] ・・・B

(3) aDで止まる直前に、パイプが支点abから受ける垂直抗力とします。このとき、パイプに水平方向に働くは、aから受ける右向きの動摩擦力と、bから受ける左向きの最大静止摩擦力です。この2力のつり合いより、
・・・C
重心とDとの距離は、
重心の周りの力のモーメントのつり合いより、
・・・D
C,Dより、
分母を払うと、
整理してBを使うと、
......[] ・・・E

(4) EをBに代入すると、
......[]

(5) さらに実験を続けて、Bが滑り出してEで止まったとします。このとき、とすると、
重心とEとの距離は、
(1)(2)と同様に考えて、パイプに働く水平方向の力のつり合いの式と、重心の周りの力のモーメントのつり合いの式を立てると、パイプがabから受ける垂直抗力として、
 ・・・F
この式は、
 ・・・G
と書き直すと、F,Gは、C,Dにおいて、abを入れ替え、としたものです。計算をしなくても、となることがわかります。つまり、2支点間の距離,・・・ は、公比等比数列になっていて、より、プロセスを何度も繰り返していくと、2支点間の距離は、0に近づいていきます。
2支点は、必ず重心の両側にあるので、最終的に2支点が重心に重なります。
支点
aと支点bが代わる代わる一方が滑って他方が止まるということを繰り返し、両支点間の距離は、公比の等比数列となって小さくなり、より、0に近づいていく。最終的に、両支点は重心に来る。 ......[]

U(1) 小球1位置エネルギーの変化は、,小球2位置エネルギーの変化は、
この和が、パイプが回転したときの運動エネルギーになります。
パイプが回転したときの、小球
1と小球2速さはそれぞれ、です(円運動の公式より、角速度wとして、B速さ,小球1,小球2速さ,なお、等速円運動を参照)
力学的エネルギー保存より、
整理して、
......[]

(2)
両辺を2乗して整理すると、
・・・H
また、重心位置について、
これより、
これと、をHに代入すると、
整理して、

のときとなって不適。
のとき、

......[]


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