東工大物理'13年前期[1]

[A] 図1のように水平でなめらかな平面があり、その上の直線上を同じ質量m2つの物体ABが、伸び縮みしない質量の無視できる長さのひもで結ばれたまま、摩擦を受けずに運動している。以下では、図の右方向を速度の正の向きにとる。
時刻において、図1のように物体Aは物体Bの右方向に距離だけ離れた位置にあり、ひもはたるんだまま、物体ABはそれぞれ速度 ()で運動している。物体間の距離がになるとひもがたるみなく張り、物体ABには撃力が働く。その直後、物体ABは近づき始め、やがて衝突する。ひもが張ったときの衝撃によってエネルギーが失われることはなく、ひもが張る前後で物体Aと物体Bの力学的エネルギーの和、および運動量の和が保存している。なお、ひもがたるんでいるときには、ひもは物体ABの運動を妨げることはないとする。また、物体ABの衝突は完全弾性衝突であるとする。空気抵抗は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。
(a) 初めてひもが張った直後の物体ABの速度をそれぞれとする。ひもが張る前後のエネルギー保存の式、および運動量保存の式を記せ。また、を求めよ。
(b) から初めてひもが張るまでの時間を求めよ。また、から2回目にひもが張るまでの物体Bの速度を、時間の関数として解答欄(b)に実線で書き込め。ただし、初めてひもが張る時刻と速度を表す位置は解答欄に示されている。

[B] 図2のように水平面となす角がθ ()の斜面があり、その上の直線上を同じ質量m2つの物体ABが伸び縮みしない質量の無視できる長さのひもで結ばれたまま運動している。ただし、2つの物体は紙面内を運動し、斜面から離れることはない。物体Aの下面はなめらかで斜面との間に摩擦はないが、物体Bの下面は粗く、物体Bと斜面との間の動摩擦係数はである。物体Bに働く動摩擦力は重力の斜面下向き成分に比べて小さく、物体は斜面上で静止することはない。以下では、斜面下方を速度の正の向きにとる。
時刻において物体Aは物体Bより距離だけ下方にあり、物体ABの速度は等しく、 ()であった。重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗は無視できるものとして、以下の間に答えよ。
(c) から初めてひもが張るまでの時間を求めよ。
(d) 初めてひもが張った直後の、物体Bから見た物体Aの相対速度を求めよ。ただし、ひもが張ったときの衝撃によってエネルギーが失われることはなく、ひもが張る前後で物体Aと物体Bの力学的エネルギーの和、および運動量の和が保存している。なお、ひもが張る瞬間において、物体に働く重力と摩擦力の影響は無視する。
(e) (d)でひもが張った時刻から、物体ABが近づき、初めて距離がになるまでの時間を求めよ。また、距離がになったときの物体Bから見た物体Aの相対速度を求めよ。
(f) から3回目にひもが張るまでの物体ABの速度を、時間の関数として解答欄(f)に書き込め。物体Aの速度のグラフを実線、物体Bの速度のグラフを破線で書くこと。ただし、からまでのグラフは解答欄(f)に書き込まれている。

解答 [B]の後半では、斜面を下るに従って、だんだんABも速くなるのですが、運動の対称性を生かせばうまく解答することもできます。

[A](a) ひもが張る直前、運動エネルギーAB運動量です。ひもが張った直後、運動エネルギーAB運動量,です。
ひもが張る前後のエネルギー保存より、
......[] ・・・@
運動量保存より、
......[] ・・・A
@より、 ・・・B
Aより、 ・・・C
B,Cより、 ・・・D
C+Dより、
......[],C−Dより、 ......[]
注.同じ質量の物体Aが、ひもが張る前後で、エネルギー保存運動量保存が成立すると、本問のように、速度を交換することに注意してください。

(b) 初めてひもが張るまで、Bから見たA相対速度です。Bから見るとAは、この速度時間の間に進むように見えるので、
......[]
初めてひもが張ると、BAを追いかけるようになり、初めてひもが張ってから2度目にひもが張るまでの時間とすると、この間にBAに対して、相対速度距離進むことになるので、(a)の結果を用いて、

初めてひもが張るまでのにおいて、B速度,ここから2度目にひもがはるまでのにおいて、B速度です。グラフは右図。

[B](c) 斜面を下る方向のA運動方程式は、A加速度として、A重力のこの方向の成分を受けるので、
 ∴
斜面を下る方向のB運動方程式は、B加速度として、B重力のこの方向の成分と上向きの動摩擦力を受けるので、
 ∴
Bから見たA相対加速度は、
BからAを見ると、はじめ距離にいたAが、初速度0加速度で動き始め、ひもが張るときには距離にいるように見えます。等加速度運動の公式より、
 ∴ ......[]

(d) ひもが張る直前のAB速度は、等加速度運動の公式より、
Bから見たA相対速度は、
 ・・・D
[A](a)と同様に、ひもが張ったときにAB速度を交換するので、初めてひもが張った直後の物体Bから見た物体A相対速度は、Dと符号が反転し、 ......[]

(e) Bから見たA加速度はひもが張った後も、です。Bから見てAとの相対距離縮まるまでの時間として、等加速度運動の公式より、

......[] ()
等加速度運動の公式より、相対速度は、
......[]
この後、時間経過すると、相対距離は、だけ増して、となり、再びひもが張ります。ここで再びAB速度が交換して運動が続きます。
注.
(d)でも述べたように、ひもが張るときにABは速度を交換し、同じ加速度で逆向きの運動を始めます。重力を受けて鉛直上方投射された物体が、上昇から下降に移るのと同様に、本問でも同じ相対距離動く時間は変わらず、になるのは当然です。また、相対距離がになったときの相対速度がのときと同じ値となるのも当然です。
(f) (e)までで見てきたように、一旦ひもが張って次に張るまでの時間は、ずっとのままになります。ひもが張るごとにAB速度を交換し各々のグラフが途切れます。初速度で動き始めた後、A加速度で、B加速度等加速度運動を続けるので、ひもが張るときを除いてそれぞれのグラフの傾きは一定で、物体Aと物体B速度のグラフは右図のようになります。


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