東京工業大学2013年前期物理入試問題

[1]
 [A] 図1のように水平でなめらかな平面があり、その上の直線上を同じ質量m2つの物体ABが、伸び縮みしない質量の無視できる長さのひもで結ばれたまま、摩擦を受けずに運動している。以下では、図の右方向を速度の正の向きにとる。
時刻において、図1のように物体Aは物体Bの右方向に距離だけ離れた位置にあり、ひもはたるんだまま、物体ABはそれぞれ速度 ()で運動している。物体間の距離がになるとひもがたるみなく張り、物体ABには撃力が働く。その直後、物体ABは近づき始め、やがて衝突する。ひもが張ったときの衝撃によってエネルギーが失われることはなく、ひもが張る前後で物体Aと物体Bの力学的エネルギーの和、および運動量の和が保存している。なお、ひもがたるんでいるときには、ひもは物体ABの運動を妨げることはないとする。また、物体ABの衝突は完全弾性衝突であるとする。空気抵抗は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。
(a) 初めてひもが張った直後の物体ABの速度をそれぞれとする。ひもが張る前後のエネルギー保存の式、および運動量保存の式を記せ。また、を求めよ。
(b) から初めてひもが張るまでの時間を求めよ。また、から2回目にひもが張るまでの物体Bの速度を、時間の関数として解答欄(b)に実線で書き込め。ただし、初めてひもが張る時刻と速度を表す位置は解答欄に示されている。

[B] 図2のように水平面となす角がθ ()の斜面があり、その上の直線上を同じ質量m2つの物体ABが伸び縮みしない質量の無視できる長さのひもで結ばれたまま運動している。ただし、2つの物体は紙面内を運動し、斜面から離れることはない。物体Aの下面はなめらかで斜面との間に摩擦はないが、物体Bの下面は粗く、物体Bと斜面との間の動摩擦係数はである。物体Bに働く動摩擦力は重力の斜面下向き成分に比べて小さく、物体は斜面上で静止することはない。以下では、斜面下方を速度の正の向きにとる。
時刻において物体Aは物体Bより距離だけ下方にあり、物体ABの速度は等しく、 ()であった。重力加速度の大きさをgとし、空気抵抗は無視できるものとして、以下の間に答えよ。
(c) から初めてひもが張るまでの時間を求めよ。
(d) 初めてひもが張った直後の、物体Bから見た物体Aの相対速度を求めよ。ただし、ひもが張ったときの衝撃によってエネルギーが失われることはなく、ひもが張る前後で物体Aと物体Bの力学的エネルギーの和、および運動量の和が保存している。なお、ひもが張る瞬間において、物体に働く重力と摩擦力の影響は無視する。
(e) (d)でひもが張った時刻から、物体ABが近づき、初めて距離がになるまでの時間を求めよ。また、距離がになったときの物体Bから見た物体Aの相対速度を求めよ。
(f) から3回目にひもが張るまでの物体ABの速度を、時間の関数として解答欄(f)に書き込め。物体Aの速度のグラフを実線、物体Bの速度のグラフを破線で書くこと。ただし、からまでのグラフは解答欄(f)に書き込まれている。
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[2] 図1のように、水平なxy平面上に固定された2本の平行なレール甲、乙と、そのレール上に置かれた電気抵抗をもつ2本の棒12よりなる装置がある。2本のレールは導体でできており、x軸に平行になるように間隔で配置されている。レール間にはスイッチを介して静電容量Cのコンデンサーが接続されており、レール甲は接地されている。2本の棒はy軸に平行になるようにレール上に置かれ、向きを保ったままレール上をx軸の向きになめらかに動くことができる。棒1と棒2の質量をそれぞれとする。また、棒1と棒2をレール間に渡したときの電気抵抗はそれぞれである。の部分には鉛直上向きに磁束密度の大きさBの一様な磁場がかけられている。の部分の磁束密度の大きさは0である。
レールと棒の太さは無視できるとする。レールは充分に長く、実験中に棒が端に達することはない。また、棒
1と棒2は十分離れており、実験中互いに接触しないものとする。レールと棒の摩擦や空気抵抗、棒以外の電気抵抗、回路を流れる電流により発生する磁場、レール間の静電容量は無視できる。
以下では、棒を流れる電流は
y軸正方向を正とし、棒の速度、運動量、棒に働く力はx軸正方向を正とする。解答には、小問中で指定されたもの以外に
BC
を用いてよい。

[A] まず、図2のようにスイッチを開いた状態で実験を行う。棒2の部分に速度が0になるようにそっと置き、棒1の部分から初速度 ()で滑らせる。
(a) 1を通過した直後に棒1に流れる電流を初速度を用いて表せ。
(b) 以下の空欄に入る適切な数式を答えよ。解答欄には答えのみを書くこと。

1を通過したあとのある時刻において、棒2を流れる電流をとする。棒2に働くローレンツ力f を用いて ア と与えられる。微小時間あたりの棒2の速度の変化はである。このとき棒1には電流が流れるから棒1に働くローレンツ力はであり、棒1の速度変化はである。従って、棒1と棒2の運動量の和の変化はであり、運動量の和は時間とともに変化しない。
時間が十分経過したあと、それぞれの棒の速度が変化しなくなった。このとき、それぞれの棒に働くローレンツ力は
0であるから、棒に電流は流れていないはずである。従って、十分時間が経過したあとの棒1の速度と棒2の速度の間に、運動量保存の式とは別に、関係 イ が成り立つ。このことから、時間が十分経過したあとの棒1の速度とレール乙の電位を用いて ウ  エ と表すことができる。

(c) 棒1に初速度を与えてから最終的にそれぞれの棒の速度が変化しなくなるまでに、棒1で発生したジュール熱を用いて表せ。

[B] 今度は、図3のようにスイッチを閉じた状態で同様の実験を行う。棒2の部分に速度が0になるようにそっと置き、棒1の部分から初速度 ()で滑らせる。はじめコンデンサーは充電されていないものとする。
(d) 以下の空欄に入る適切な数式を答えよ。解答欄には答えのみを書くこと。

1を通過したあとのある時刻において、レール乙の電位をV,棒1と棒2を流れる電流をそれぞれとし、微小時間あたりの棒1と棒2の速度の変化をそれぞれとする。あたりの棒1と棒2の運動量の合計をを用いて表すと オ となる。また、あたりのレール乙の電位の変化を用いて表すと カ となる。
これら
2つの式より、
 キ 
が成り立つので、
 キ 
V
は時間とともに変化しない。

(e) 十分時間が経過したあと、それぞれの棒の速度が変化しなくなった。このときの棒1の速度とレール乙の電位を用いて表せ。
(f) 1に初速度を与えてから最終的にそれぞれの棒の速度が変化しなくなるまでに、棒1と棒2で発生したジュール熱の合計Qを、棒1の初速度,棒1の最終的な速度および最終的なレール乙の電位を用いて表せ。
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[3] 単色光源から出た波長λの光が、単スリットS,二重スリットABを通過し、スクリーン上に作り出す干渉縞を、光の強度(明るさ)に比例した読みを与える光検出器Cを用いて観測する。屈折率が1の大気中に、単スリットSを有する遮光板と、二重スリットABを有する遮光板と、大きさの無視できる光検出器が置かれたスクリーンが、図1@のように互いに平行に置かれている。各スリットは、紙面に垂直な方向に細長く、水平方向の幅は波長に比べて十分に狭い。また、二重スリットABの間隔a ()は、波長よりも十分に大きい。スリットSの位置は、可動装置Nによって左右に動かすことができ、二重スリットABの位置は固定されている。光検出器Cの位置をスクリーン上の座標xで表し、二重スリットABから等距離にある点を原点Oとし、図の右向きを正にとる。各スリットの間の距離を,スリットと光検出器との間の距離をのように表す。以下の問いでは、原点付近()の光の強度について考える。

(a) となる位置に単スリットSを固定し、光検出器Cの位置xをずらしながら、その読みを記録した。以下の文章の空欄に入る適切な数式を答えよ。解答欄には答えのみを書くこと。

Lxaを用いて、 ア と表される。ここで、のとき、とする近似を用いると、 イ となる。同様の計算をについても行うと、 ウ となる。光検出器の位置をずらしながら、その読みを記録したところ、スクリーンに生じた干渉縞に対応して、図1Aのように読みがxとともに周期的に変化した。この干渉縞の間隔は エ であった。

(b) 可動装置Nを使って単スリットSの位置をずらした。以下の文章の空欄に入る適切な数式を答えよ。()については導出過程も書くこと。

0からに変化したとき、干渉縞がx軸正の方向にdだけずれた。 ウ より、daLを用いて オ と表すことができる。光検出器Cをずらしながら、その読みを記録したところ、読みはという関数で表すことができた。ここで、αは、干渉縞の光強度が最大となる位置における光検出器Cの読みである。
次に、可動装置
Nを使って単スリットSの位置を不規則に変化させたところ、光検出器Cの読みが不規則に変動した。そこで、光検出器の読みを十分長い時間にわたって平均し、その平均値を、光検出器の位置xの関数として作図した。すると、図1Bのように、干渉縞が消失してしまった。これは次のように理解することができる。単スリットSの位置を不規則に動かすと、が変化し、干渉縞のずれdが不規則に変化する。実験では光検出器の読みを表す式の中のという項がから1までの値を不規則に取り、長い時間にわたって読みを平均することで、平均値が0に近づいていったものと考えられる。そのために、光検出器の読みの平均値が カ に近づき、干渉縞が消失したわけである。

(c) 可動装置Nを使って単スリットSの位置を不規則に変化させても、干渉縞を観察することができるように、図2のような、問(a)の光検出器Cと同一の応答をする光検出器2台を有する新しい装置Mを用いることにした。二つの光検出器の位置をとする。同時刻における、の読みをかけあわせた値が、装置Mの読みとして得られる。を固定し、をずらしながらMの読みを記録した。以下の文章の空欄に入る適切な数式、または記号を答えよ。解答欄には、答えのみを書くこと。

まず、単スリットSとなる位置に固定した。nを整数として、 キ という条件を満たしている場合は、をずらしても、Mの読みは0のまま変化しなかった。しかし、の位置に固定すると、装置Mの読みが、の関数として間隔Pで周期的に変化した。
次に、単スリット
Sの位置をとなる位置にずらすと、スクリーン上の干渉縞が、問(b)と同様にdだけずれた。の位置に固定したまま、の位置を変えながら装置Mの読みを記録すると、その値は、αPdを用いて、 ク という関数で表すことができた。
最後に、可動装置
Nを用いて、単スリットSの位置を不規則に変化させたところ、装置Mの読みが変動した。そこで、問(b)と同様に、装置Mの読みを十分長い時間にわたって平均した値を、を変えながら記録した。に固定したままである。先ほど求めた装置Mの読み ク の中で、dを含む三角関数の値は、から1までの値を不規則に変化する。問(b)の考えに基づくと、装置Mの読みを十分長い時間平均した値は、αPを用いて、 ケ と表されるはずである。実験をしてみたところ、 コ  (3 @〜Iのうちから一つ選択せよ)のようなグラフが得られた。
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